最大连续子序列算法（数组的连续子数组最大和（首尾不相连））
相关描述：
连续子序列最大和，其实就是求一个序列中连续的子序列中元素和最大的那个。
比如例如给定序列：
{ -5，-2, 11, -4, 13, -5, -8 }
其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。
方法一：暴力 O（n^3）
算法描述：
暴力搞来就是枚举子序列的起点和终点，然后计算这一段的和，再通过不断地更新最大值即可。但是效率太低了。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100000;
int a[maxn];
int main()
{
int n,max;
while(scanf("%d",&n)&&n!=0)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
max=-1111111;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++)
{
int sum=0;
for(int k=i;k<=j;k++)
{
sum+=a[k];
}
if(max<sum) max=sum;
}
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}
方法二：优化方法一，预处理O（n^2）,其实就是在最开始时加一个数组sum[i]表示前i项的和，效率也不高。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100000;
int a[maxn],sum[maxn];
int main()
{
int n,max;
while(scanf("%d",&n)&&n!=0)
{
a[0]=0;
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
max=-1111111;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++)
{
int s=0;
s=sum[j]-sum[i-1];
if(max<s) max=s;
}
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}
方法三：累计遍历算法O（n）,效率很高了。
遍历序列的时候对Sum进行累计，如果Sum累积后小于0的话就把Sum重置，每次更新Sum的最大值。最后便能求出最大值。
其实这个算法就是把序列分为好几块，每一块满足：对于任意k，前k个数的和不会小于0（小于0就没有和后面的数列连续的价值了），当前i个数的和大于最大值时就进行更新，而最大值的左边界就是该块序列的第一个，右边界是第i个。
时间复杂度为O(n)，而且可以一边读取一边处理，不需要开数组来存，空间也很省。
代码如下：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int main()
{
int t,n;
while(scanf("%d",&n)&&n!=0)
{
int max=-1111111,b=-111111;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&t);
if(b<0) b=t;
else
{
b+=t;
}
if(b>max)
max=b;
}
printf("%d\n",max);
}
}
方法四：动态规划O（n）,效率同样很高。
算法思想：
设s[j]表示第j处，以a[j]结尾的子序列的最大和。
注意：dp[j]并不是前j-1个数中最大的连续子序列之和，而只是包含a[j]的最大连续子序列的和。我们求出b[j]中的最大值，即为所求的最大连续子序列的和。
递推公式：dp[j]=max{dp[j],dp[j-1]+a[j]};
代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=10005;
int a[maxn],dp[maxn];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
int max= dp[1]=a[1];
for(int i=2; i<=n; i++)
{
if(dp[i-1]+a[i]>=a[i])
{
dp[i]=dp[i-1]+a[i];
}
else
{
dp[i]=a[i];
}
if(max<dp[i])
max=dp[i];
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}
注：有时候还需要找出最大连续子序列的左右界，我这里给出第三种方法的可以求左右界的代码，以HDU1003为例。其余的方法实现，读者可以自己探究。
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003
代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int a[maxn];
int main()
{
int t,n;
while(scanf("%d",&t)!=EOF)
{
for( int k=1;k<=t;k++)
{
scanf("%d",&n);
int max=-1111111,b=-111111;
int l=1,ll=1,r=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
if(b<0)
{
b=a[i];
ll=i;
}
else
{
b+=a[i];
}
if(max<b)
{
max=b;
l=ll;
r=i;
}
}
if(k<t)
printf("Case %d:\n%d %d %d\n\n",k,max,l,r);
else
printf("Case %d:\n%d %d %d\n",k,max,l,r);
}
}
}
