泰勒公式和麦克劳林公式

泰勒公式

• 就是一个用多项式函数逼近任意函数的公式。注意，这nb就nb在能逼近任意函数

这个式子长这样：

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_o)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_o{)}^2+···+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_o{)}^n(+R_n(x))$$

其中，$R_n(x)$我们把他叫做拉格朗日余项。而且，$R_n(x)$表达式如下：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}$$

$$\xi ϵ(x,x_0)$$

接下来，我们来看麦克劳林公式：

麦克劳林公式

麦克劳林公式其实就是泰勒公式在$x_0=0$的时候的一个特殊情况
其表达式如下：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+···+\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

其中，$o(x^n)$被我们叫做皮亚诺余项。其表达式为：

$$o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}{x}^{n+1}$$

下面是一些需要背诵的常用公式：

当然也有简化版的：