柯西中值定理

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其实我们可以将柯西中值定理理解成前面罗尔定理、拉格朗日中值定理的拓展。
拉格朗日中值定理就是罗尔定理的倾斜版，而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的拓展。说了和没说一样但是又确实如此。。具体如下。

描述

设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）上可导，且$g^{\prime }（x）\ne 0$，则至少存在一点$\xi ϵ(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

咋一看和拉格朗日中值定理也挺像的。就是把x换成了g（x）。这里只是打个比方，大家自行意会。这样做的效果就是：

大概的意思就是说呢，区间（a，b）上f（x）必然会找到一个点的切线斜率于g（x）相等。
而且，如果当g（x）= x，那么这个结论会退化为拉格朗日中值定理；如果当g'（x）= 0，那么这个结论将会退化为罗尔定理。当然，我们不能把g'（x）放在分母的位置。有些地方会说f'（x）和g'(x)不同时为0，我想这样子的话是因为这两个就会是两个重合或平行的函数，没有讨论的意义，所以这样规定。