夹逼法求极限

一、描述

使用夹逼法需要同时满足以下两个条件

• $g(x)\le f(x)\le h(x)$
• $limg(x)=limh(x)=A(AϵR)$
  
  

因此可知，$limf(x)=A$

二、Example

计算：

$$\underset{n\to 0}{lim}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+(n-1)}+\frac{n}{n^2+n})$$

解：令

$$f(n)=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+(n-1)}+\frac{n}{n^2+n}$$

$$g(n)=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+1}+\cdots +\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+1}=\frac{n^2}{n^2+1}$$

$$h(n)=\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}=\frac{n^2}{n^2+n}$$

因为：

$$\underset{n\to 0}{lim}g(n)=\underset{n\to 0}{lim}\frac{n^2}{n^2+1}=1$$

$$\underset{n\to 0}{lim}h(n)=\underset{n\to 0}{lim}\frac{n^2}{n^2+n}=1$$

根据夹逼定理：

$$g(x)\le f(x)\le h(x)$$

$$limg(x)=limh(x)=1$$

所以：

$$limf(x)=1$$