e的定义及其拓展

(一) e的定义

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\mathrm{或}\underset{x\to 0}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x$$

(二)进一步拓展

首先我们知道：

$$a^{mn}=(a^m{)}^n$$

对两边取lim，得：

$$lim{a}^{mn}=(lim{a}^m{)}^n$$

这是因为

$$\begin{array}{rl}lim{a}^{mn}& =lim(a^m·a^m···a^m)\\ & =lim{a}^m·lim{a}^m···lim{a}^m\\ & =(lim{a}^m{)}^n\end{array}$$

根据这个性质，我们如果将mn写成和x相关的函数，那就是：

$$lima(x{)}^{m(x)n(x)}=[lima(x{)}^{m(x)}{]}^{limn(x)}$$

我们进行总结，可知：

$$x\to 0\mathrm{时}\mathrm{若}f(x)\to 0,g(x)\to 0$$

$$\mathrm{那}\mathrm{么}，\underset{x\to 0}{lim}(1+f(x){)}^{\frac{1}{g(x)}}=(\underset{x\to 0}{lim}(1+f(x){)}^{\frac{1}{f(x)}}{)}^{\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}}=e^c$$

$$\mathrm{其}\mathrm{中}，c=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$$