2024牛客寒假算法基础集训营2

C. Tokitsukaze and Min-Max XOR

题解：01 Trie

观察后发现对序列 $a$ 排序并不影响结果

然后容易知道，对于 $i < j, a_{i} \oplus a_{j} \leq k$ ，一共有 $2^{i - j - 1}$ 种序列 $b$ 满足条件，特别的，如果 $i = j$ ，只有 $1$ 种满足条件

那么现在问题就转换为，我们固定 $a_{j}$ 作为最大值，然后枚举 $a_{i}$ $(i < j)$ 作为最小值，如果满足题目的限制条件，那么就统计对答案的贡献

但是这样枚举显然是 $O (n^{2})$ 的，考虑优化

由于是异或，我们考虑 01 Trie

我们再将题目转化一下：对于每个 $a_{j}$ ，其对答案的贡献为 $1 + \sum_{i = 1}^{j - 1} 2^{j - i - 1} \cdot (a_{i} \oplus a_{j} \leq k) = 1 + 2^{j - 1} \sum_{i = 1}^{j - 1} 2^{- i} \cdot (a_{i} \oplus a_{j} \leq k)$

那么我们定义 $a_{i}$ 的贡献为 $2^{- i}$

然后就是在 01 Trie 上统计答案，类似求前缀中有多少个 $a_{i}$ 使得 $a_{j} \oplus a_{i} \leq k$

D. Tokitsukaze and Slash Draw

题解：最短路

发现本题就是起点为 $k$ ，终点为 $n$ 的在模 $n$ 意义下的最短路问题

对于每种操作，考虑对每个位置 $i$ 向 $(i + a_{i}) \mod n$ 建边，那么边数为 $O (n m)$

然后直接跑 $d i j$ 即可

F. Tokitsukaze and Eliminate

题解

Solution 1：贪心

显然利用 $n$ 个 vector 记录每个颜色的位置，每次挑末尾位置最小的宝石删除即可，复杂度 $O (n)$

Solution 2: 贪心

我们考虑如果我们需要通过删除 $i$ 来删除其后面的所有宝石，我们必须保证 $i$ 后面没有和 $i$ 颜色相同的宝石，定义 $n x t [i]$ 为在第 $i$ 个宝石后面与第 $i$ 个宝石颜色相同的宝石所在位置，即必须保证此时末尾宝石在 $[i, n x t [i] - 1]$

如果我们对每个宝石都考虑这个问题，那么题目就转化了一个经典的贪心模型：给定 $n$ 条线段，求用最少的线段数覆盖区间 $[1, n]$

Solution 3：线段树优化 dp

定义 $d p_{i}$ 为消除 $i$ 及其后面所有宝石的最小操作次数，转移显然为 $d p [i] = {min}_{j = i + 1}^{n x t [i]} d p [j]$

线段树优化即可

H. Tokitsukaze and Power Battle

题解

Solution 1：基于"区间查询最大子段和"思想

类似最大子段和，考虑线段树直接维护答案，合并时考虑 “减号” 所在位置：

减号在左儿子那一段，答案为左儿子包含右端点的最大答案 - 右儿子包含左端点的最小子段和

减号在中间，答案为左儿子包含右端点的最大子段和 - 右儿子包含左端点的最小子段和

减号在右儿子那一段，答案为左儿子包含右端点的最大子段和 + 右儿子包含左端点的最大答案

线段树维护信息如下：

$s u m$ ：区间和

$l m i$ ：包含左端点的最小子段和

$r m x$ ：包含右端点的最大子段和

$l a n s$ ：包含左端点的最大答案

$r a n s$ ：包含右端点的最大答案

$s e g a n s$ ：包含区间左右端点的整一段的答案

$a n s$ ：区间答案

信息之间的合并：