2024牛客寒假算法基础集训营1

D. 数组成鸡

题解

观察到 \(abs(M) \leq 1e9\)，容易知道如果绝对值不为 \(1\) 的数的个数大于 \(30\) 个的话，显然溢出，不会在答案的范围内

再仔细分析性质，如果整个数组中数的种类超过了 \(20\) 种，那么除了 \(0\) 之外，最坏的结果就是 \(-10, -9...-1,1,2,...10\) 这样的情况，他们的乘积为 \((10!)^2 > 1e9\)，所以显然如果种类数超过 \(20\) 我们可以不用管了

对于种类数小于 \(20\) 的情况，我们考虑暴力跑出所有可行的答案放在 \(set\) 中，然后 \(O(1)\) 回答查询

那么究竟怎么暴力？我们分两种操作，第一种先将原数组升序排列，然后通过操作使得最小值为 \(0\)，因为数组中不允许存在两个元素以上的值 \(> \sqrt{1e9}\)，所以暴力 \([-4e4,4e4]\) 枚举偏移量，然后直接暴力 \(O(n)\) 去累乘，然后判断合法性，因为很容易超过 \(1e9\) 所以实际上很难跑满 \(O(n)\)，这样就枚举出了答案的上界

第二种操作先将原数组降序排列，然后通过操作使得最大值为 \(0\)，后面的操作和第一种一样，这样就枚举出了答案的下界

F. 鸡数题！

题解：第二类斯特林数

条件 \(3\)：说明二进制上一共只有 \(n\) 个 \(1\)

条件 \(4\)：说明每个 \(1\) 只能分给 \(1\) 个数

条件 \(1\)：每个数至少有 \(1\) 个 \(1\)

条件 \(2\)：分完后保证有序

发现其本质就是 \(n\) 个不同的小球放入 \(m\) 个相同的盒子中，要求盒子非空，求方案数

只是最后分完之后将盒子按照大小排序而已，所以方案数没有改变

这显然是第二类斯特林数

H. 01背包，但是bit

题解：按位枚举

假设 \(m\) 的第 \(x\) 位为 \(1\)，则如果所选物品的重量或的和在第 \(x\) 位为 \(0\)，那么比 \(x\) 低的位我们可以随便取 \(0\) 或 \(1\)，没有关系，比\(x\) 的高的位必须是 \(m\) 的子集，那么我们可以尽可能贪心的选，一直逼近 \(m\)

所以我们只要枚举 \(m\) 二进制中所有 \(1\) 的位，然后按照上面的步骤统计出答案后取 \(max\) 即可

最后别忘了对 \(m\) 本身统计答案，只要 \(w[i]\) 是 \(m\) 的子集，就可以拿

I. It's bertrand paradox. Again!

题解：期望 / 统计量的选定和参数估计

可以观察到第一个人生成的数据中 \(x, y\) 分布的更加均匀

所以我们定义随机变量 \(X\) 为点到圆心距离的平方，易得每个点被选到的概率为 \(\frac{1}{199\times 199}\)，所以得到 \(E(X) = \frac{1}{199\times 199} \sum x^2 + y^2\)

我们得到了 \(1e5\) 个样本，由于样本均值是无偏估计，所以我们可以大约使用样本均值来代替期望，所以我们只要求出 \(X\) 的样本均值后与 \(EX\) 比较即可，误差较小的就是第一个人

J. 又鸟之亦心

题解：二分答案

考虑 check，假设检查的答案为 \(mid\)，一个显然的性质，当处于第 \(i\) 个任务的时候，一定有一个人在 \(a[i]\) 位置上，所以我们通过 \(set\) 维护另一个人可能在的位置，如果另一个人没有位置，说明答案不合法

复杂度：\(O(nlog^2n)\)

K. 牛镇公务员考试

题解：基环树 + 拓扑排序求环

容易发现对于一条链来说，只要其中任意一个题目的答案确定了，那么这条链上所有题目的答案就确定了

所以对于一个环来说，容易产生矛盾

然后我们将题目抽象为给定 \(n\) 个点和 \(n\) 个有向边的可能不连通的图，由于每个点都有一个出边，所以每个连通块一定是一颗基环树，也就是说每个连通块中一个有且只有一个环，我们只要把所有的环找出来，不在环上的一定不影响答案，然后在环上任意找一个起点，跑 \(5\) 次，数一下没有产生冲突的次数

那么答案就是所有环上没有冲突次数的乘积

然后问题就转化为求环，然后在环上检查合法性了