2024牛客寒假算法基础集训营1

D. 数组成鸡

题解

观察到 $abs(M)\le 1e9$，容易知道如果绝对值不为 $1$ 的数的个数大于 $30$ 个的话，显然溢出，不会在答案的范围内

再仔细分析性质，如果整个数组中数的种类超过了 $20$ 种，那么除了 $0$ 之外，最坏的结果就是 $-10,-9...-1,1,2,...10$ 这样的情况，他们的乘积为 $(10!{)}^2>1e9$，所以显然如果种类数超过 $20$ 我们可以不用管了

对于种类数小于 $20$ 的情况，我们考虑暴力跑出所有可行的答案放在 $set$ 中，然后 $O(1)$ 回答查询

那么究竟怎么暴力？我们分两种操作，第一种先将原数组升序排列，然后通过操作使得最小值为 $0$，因为数组中不允许存在两个元素以上的值 $>\sqrt{1e9}$，所以暴力 $[-4e4,4e4]$ 枚举偏移量，然后直接暴力 $O(n)$ 去累乘，然后判断合法性，因为很容易超过 $1e9$ 所以实际上很难跑满 $O(n)$，这样就枚举出了答案的上界

第二种操作先将原数组降序排列，然后通过操作使得最大值为 $0$，后面的操作和第一种一样，这样就枚举出了答案的下界

F. 鸡数题！

题解：第二类斯特林数

条件 $3$：说明二进制上一共只有 $n$ 个 $1$

条件 $4$：说明每个 $1$ 只能分给 $1$ 个数

条件 $1$：每个数至少有 $1$ 个 $1$

条件 $2$：分完后保证有序

发现其本质就是 $n$ 个不同的小球放入 $m$ 个相同的盒子中，要求盒子非空，求方案数

只是最后分完之后将盒子按照大小排序而已，所以方案数没有改变

这显然是第二类斯特林数

H. 01背包，但是bit

题解：按位枚举

假设 $m$ 的第 $x$ 位为 $1$，则如果所选物品的重量或的和在第 $x$ 位为 $0$，那么比 $x$ 低的位我们可以随便取 $0$ 或 $1$，没有关系，比$x$ 的高的位必须是 $m$ 的子集，那么我们可以尽可能贪心的选，一直逼近 $m$

所以我们只要枚举 $m$ 二进制中所有 $1$ 的位，然后按照上面的步骤统计出答案后取 $max$ 即可

最后别忘了对 $m$ 本身统计答案，只要 $w[i]$ 是 $m$ 的子集，就可以拿

I. It's bertrand paradox. Again!

题解：期望 / 统计量的选定和参数估计

可以观察到第一个人生成的数据中 $x,y$ 分布的更加均匀

所以我们定义随机变量 $X$ 为点到圆心距离的平方，易得每个点被选到的概率为 $\frac{1}{199\times 199}$，所以得到 $E(X)=\frac{1}{199\times 199}\sum x^2+y^2$

我们得到了 $1e5$ 个样本，由于样本均值是无偏估计，所以我们可以大约使用样本均值来代替期望，所以我们只要求出 $X$ 的样本均值后与 $EX$ 比较即可，误差较小的就是第一个人

J. 又鸟之亦心

题解：二分答案

考虑 check，假设检查的答案为 $mid$，一个显然的性质，当处于第 $i$ 个任务的时候，一定有一个人在 $a[i]$ 位置上，所以我们通过 $set$ 维护另一个人可能在的位置，如果另一个人没有位置，说明答案不合法

复杂度：$O(nlo{g}^{2}n)$

K. 牛镇公务员考试

题解：基环树 + 拓扑排序求环

容易发现对于一条链来说，只要其中任意一个题目的答案确定了，那么这条链上所有题目的答案就确定了

所以对于一个环来说，容易产生矛盾

然后我们将题目抽象为给定 $n$ 个点和 $n$ 个有向边的可能不连通的图，由于每个点都有一个出边，所以每个连通块一定是一颗基环树，也就是说每个连通块中一个有且只有一个环，我们只要把所有的环找出来，不在环上的一定不影响答案，然后在环上任意找一个起点，跑 $5$ 次，数一下没有产生冲突的次数

那么答案就是所有环上没有冲突次数的乘积

然后问题就转化为求环，然后在环上检查合法性了