AtCoder Beginner Contest 311

E - Defect-free Squares

给你一个\(n \times m\)的方格矩阵，矩阵上有一些洞，然后让你求出所有的不含洞的正方形数量

\(1 \leq n,m \leq 3000\)

题解：二维前缀和 + 二分答案

• 我们先考虑一维上的问题，假设一维上有些位置上有漏洞，然后让你求出所有满足\([l,r]\)区间中没有洞的合法区间数量
• 我们考虑预处理前缀和\(pre\)，如果\(pre[r] - pre[l - 1] =0\)，说明\([l,r]\)中没有洞
• 那么我们发现，对于一个固定的区间右端点\(r\)来说，左端点\(l\)具有二分性，我们完全可以通过二分找到\(l\)，那么区间个数为\(r - l + 1\)
• 所以我们只需要枚举\(r\)即可，然后对于每一个\(r\)的位置二分找出\(l\)，记录对答案的贡献即可
• 那么现在问题转化到了二维上
• 我们可以预处理二维前缀和
• 显然类似一维，我们可以枚举每一个点作为正方形的右下角，二分正方形的边长即可

const int N = 3e3 + 10, M = 4e5 + 10;

int n, m, q;
int g[N][N];
int pre[N][N];

bool check(int x, int y, int mid)
{
    int x1 = x - mid + 1;
    int y1 = y - mid + 1;
    int sum = pre[x][y] - pre[x][y1 - 1] - pre[x1 - 1][y] + pre[x1 - 1][y1 - 1];
    return sum == 0;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= q; ++i)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        g[x][y] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            pre[i][j] = pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1] + g[i][j];
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if (g[i][j])
                continue;
            int l = 1, r = min(i, j); // 二分正方形的边长的长度
            while (l <= r)
            {
                int mid = l + r >> 1;
                if (check(i, j, mid))
                    l = mid + 1;
                else
                    r = mid - 1;
            }
            ans += r;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}