高斯消元法

高斯消元法-约当消元法

• $m$个一次方程，$n$个变量，可以得到$m$行$n+1$列的增广矩阵
• 将增广矩阵通过行初等变换为行最简形
• 我们观察增广矩阵，线性方程组的解有$3$种情况
• 唯一解
• 有无穷多组解
• 无解
• 高斯-约旦消元法，是高斯消元法的一种，消元的结果是一个简化阶梯矩阵、

消元过程

1. 从第$1$列开始，选择一个非$0$的系数（优先选择最大的的系数，避免转换为其他系数时产生过大的树数值）所在的行，把这一行移动到第$1$行，此时$x_1$是主元
2. 把$x_1$的系数转换为$1$
3. 利用主元$x_1$的系数，把其他行的这一列的主元消去
4. 重复以上步骤，直到把每行都变成只有对角线上存在主元，且系数都为$1$，最后得到行最简行矩阵，答案就是最后一列的数字

int n;
double a[N][N]; // 增广矩阵
/*
1 2 -4 0
0 0 3 3
0 0 2 2
*/
int Gauss(int n, int m) // n行m列的增广矩阵
{
    int r = 0;                       // 增广矩阵的秩
    for (int j = 1; j <= m - 1; ++j) // 枚举系数矩阵的列
    {
        int mx = r + 1;               // 当前所在行号
        for (int i = mx; i <= n; ++i) // 枚举行来找到该列绝对值最大非0系数
        {
            if (fabs(a[i][j]) > fabs(a[mx][j]))
                mx = i;
        }

        if (fabs(a[mx][j]) < eps) // 对角线上主元素为0，没有唯一解，矩阵的秩不用加1
            continue;

        for (int i = 1; i <= m; ++i) // 将这最大系数这一行和对角线那一行进行交换
            swap(a[r + 1][i], a[mx][i]);

        for (int i = m; i >= j; --i) // 将这一行的主元素系数变为1
            a[r + 1][i] /= a[r + 1][j];

        for (int i = 1; i <= n; ++i) // 消去主元所在列的其他行的主元
        {
            if (i != r + 1)
            {
                double t = a[i][j] / a[r + 1][j];
                for (int k = 1; k <= m; ++k)
                    a[i][k] -= t * a[r + 1][k];
            }
        }
        r++;
    }

    if (r < m - 1) // 矩阵的秩小于未知量的个数(m - 1)
    {
        for (int i = r + 1; i <= n; ++i)
        {
            if (fabs(a[i][m]) > eps)
                return 0; // 无解
        }
        return 2; // 有无穷多组解
    }
    return 1;
}