食物链

动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。

现有 $N$ 个动物，以 $1 \sim N$ 编号。每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 $N$ 个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

第二种说法是2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$。

此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；

当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；

当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。

你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。

$1\le N\le 5 \times 10^4$，$1\le K \le 10^5$

题解一：扩展域并查集

类似分层图，我们开三倍大小的并查集，$[1,n]$代表同类关系集合，$[n+1,2n]$代表食物关系集合，$[2n+1,3n]$代表敌人关系集合，三种关系构成循环

如何判断$x$和$y$是同类是假话：如果$x$吃$y$或者$y$吃$x$，那么就是假话，也就是说我们只要在$x$的食物关系集合中和$y$有关系或者在$y$的食物关系中和$x$有关系，就说明这句话是假话

如何判断$x$吃$y$是假话：如果$x$和$y$是同类或者$y$吃$x$，就说明是假话

其余的假话按照题意判断即可

#include <bits/stdc++.h>
#define Zeoy std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0)
#define debug(x) cerr << #x << '=' << x << endl
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rson id << 1 | 1
#define lson id << 1
#define int long long
#define mpk make_pair
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const int N = 5e4 + 10, M = 4e5 + 10;

int n, k;
int fa[3 * N];

int find(int x)
{
    return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

void merge(int u, int v)
{
    u = find(u);
    v = find(v);
    if (u != v)
        fa[u] = v;
}

void solve()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= 3 * n; ++i)
        fa[i] = i;
    int ans = 0;
    while (k--)
    {
        int op, x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (x > n || y > n)
        {
            ans++;
            continue;
        }
        if (op == 1)
        {
            if (find(x) == find(y + n) || find(y) == find(x + n))
                ans++;
            else
            {
                merge(x, y);
                merge(x + n, y + n);
                merge(x + 2 * n, y + 2 * n);
            }
        }
        else
        {
            if (find(x) == find(y) || find(y) == find(x + n))
                ans++;
            else
            {
                merge(x, y + n);
                merge(x + n, y + 2 * n);
                merge(x + 2 * n, y);
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
}
signed main(void)
{
    Zeoy;
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

题解二：带边权并查集

我们在并查集中额外维护节点到根节点的距离$dis$，设$dis=0$代表和根节点是同类，$dis=1$代表被根节点吃，也就是说是根节点的食物，$dis=2$代表可以吃根节点，也就是根节点的敌人，那么$dis=3$就代表和根节点是同类，以此类推，我们可以令$dis\%3=0$的点代表根节点的同类，$dis\%3=1$的点代表根节点的食物，$dis\%3=2$的点代表根节点的敌人

如何判断$x$和$y$是同类是假话：如果$x$和$y$在同一集合中，且$dis[x] \% 3 \neq dis[y] \% 3$ ,也就是说

\[dis[x]\%3-dis[y]\%3 \neq 0 \\ (dis[x]-dis[y])\%3 \neq 0 \]
说明这是句假话

如果是$x$和$y$是同类是真话，我们该如何合并呢？

合并时假设我们将$x$的根节点$fx$合并到$y$的根节点$fy$，那我们就需要构造$fx$到根节点$fy$的距离$dis[fx]$，同时构造时我们需要保证
$$ (dis[x] + dis[fx]) \% 3 = dis[y] \% 3 \\ (dis[x] + dis[fx]) \% 3 - dis[y] \% 3 = 0 \\ (dis[x] + dis[fx] - dis[y]) \% 3 = 0 \\ dis[fx] = dis[x] - dis[y] $$

如何判断$x$吃$y$是假话：如果$x$和$y$在同一集合中，如果$x$吃$y$那么，在模$3$的情况下,$y$到根节点的距离肯定比$x$到根节点的距离多$1$

\[(dis[y]-dis[x]) \% 3 =1 \\ (dis[y]-dis[x]) \%3-1\%3=0 \\ (dis[y]-dis[x]-1)\%3=0 \]

如果是$x$吃$y$是真话，我们继续考虑合并，类似上面的合并，我们构造：

\[(dis[y]-dis[x]-dis[fx])\%3= 1\\ (dis[y]-dis[x]-dis[fx]-1)\%3=0\\ dis[fx] = dis[y]-dis[x]-1 \]

其余的假话按照题意判断即可

#include <bits/stdc++.h>
#define Zeoy std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0)
#define debug(x) cerr << #x << '=' << x << endl
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rson id << 1 | 1
#define lson id << 1
#define int long long
#define mpk make_pair
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const int N = 5e4 + 10, M = 4e5 + 10;

int n, k;
int fa[N];
int dis[N];

int find(int x)
{
    if (x != fa[x])
    {
        int rt = find(fa[x]);
        dis[x] += dis[fa[x]];
        fa[x] = rt;
    }
    return fa[x];
}

void solve()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        fa[i] = i;
    int ans = 0;
    while (k--)
    {
        int op, x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (op == 1)
        {
            if (x > n || y > n)
            {
                ans++;
                continue;
            }
            int fx = find(x), fy = find(y);
            if (fx == fy && (dis[x] - dis[y]) % 3 != 0)
                ans++;
            else if (fx != fy)
            {
                fa[fx] = fy;
                dis[fx] = dis[y] - dis[x];
            }
        }
        else
        {
            if (x > n || y > n || x == y)
            {
                ans++;
                continue;
            }
            int fx = find(x), fy = find(y);
            if (fx == fy && (dis[y] - dis[x] - 1) % 3 != 0)
                ans++;
            else if (fx != fy)
            {
                fa[fx] = fy;
                dis[fx] = dis[y] - dis[x] - 1;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
}
signed main(void)
{
    Zeoy;
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}s

posted @ 2023-04-10 20:12 Zeoy_kkk 阅读(6) 评论(0) 编辑收藏举报

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