最大子矩形问题学习笔记

问题概述

给定一个矩形网格, 网格上有一些障碍点, 要求出网格中不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的最大子矩形.

一些定义

有效子矩形: 内部不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的矩形.

极大有效子矩形: 我们称一个有效子矩形为极大有效子矩形, 当且仅当不存在包含它的有效子矩形.

最大有效子矩形: 所欲有效子矩形中面积最大的一个. 简称为最大子矩形.

约定矩形的大小为\(n \times m\), 其中障碍格子的数量为\(s\).

单调队列法

时间复杂度为\(O(s^2)\), 此处不作详述.

悬线法

定义

有效竖线: 除了两个端点以外, 不覆盖任何障碍点的竖直线段.

悬线: 上端覆盖了一个障碍点或达到矩形上端的有效竖线.

注意到, 矩形上的任意一点唯一地对应一条悬线的下端, 因而一个矩形中的不同悬线条数为\(O(nm)\)的.

实现

我们注意到, 假如将最大子矩形剖开为若干条平行于Y轴的线段, 则至少有一条线段是悬线, 因此考虑枚举每一条悬线, 计算出其向左向右扩展得到的最大面积, 即可得到最大子矩形. 又由于悬线数量为\(O(nm)\), 因此我们只要\(O(1)\)向左右两边扩展, 即可以\(O(nm)\)的优秀时间复杂度解决问题.

预处理出每一个位置的左边第一个障碍和右边第一个障碍即可, 即可做到\(O(1)\)扩展.