混凝土数学第四章之数论学习笔记

我总觉得混凝土数学内容的层次性不足, 因此从这篇学习笔记开始, 我会把分段分得更细致一些.

整除性

这是整除的定义:

\[m | n \Rightarrow m > 0且对于某个整数k有n = mk \]

接下来我们还定义了最大公因子:

\[\gcd(m, n) = \max\{ k \ | \ k | m且k | n \} \]

以及最小公倍数

\[lcm(m, n) = \min\{ k \ | \ k > 0且m | k且n | k\} \]

欧几里得算法

考虑如何计算\(\gcd(n, m)\): 我们一般用欧几里德辗转相除法. 这种算法我们都很熟悉, 因此对于做法我们不再赘述.

考虑如何证明欧几里德算法的正确性: 我们不妨假设\(n \ge m\).

(1) \(m = 0\), 则\(\gcd(n, m) = \gcd(n, 0) = n\).

(2) \(m > 0\), 不妨设\(\gcd(n, m) = d\), 则\(n = n'd\), \(m = m'd\), 且\(\gcd(n', m') = 1\). 我们考虑辗转相除的本质实际上是辗转相减, 因此我们实际上要证明的是\(\gcd(n, m) = \gcd(m, n - m)\). 我们有

\[\begin{aligned} \gcd(m, n - m) &= \gcd(m'd, n'd - m'd) \\ &= \gcd(m'd, (n' - m')d) \end{aligned} \]

显然, 现在问题变成了证明\(\gcd(m', n' - m') = 1\).

反证法, 我们假设存在\(d' > 1\)满足\(d' | m'\)且\(d' | n' - m'\), 则\(d' | n' - m' + m'\), 即\(d' | n'\), 因此与条件矛盾.

扩展欧几里得算法

我们注意到\(n \bmod m\)的本质: \(n \\bmod m = n - m\lfloor \frac nm \rfloor\)
考虑对欧几里得算法加以推广, 用于计算满足

\[mm' + nn' = \gcd(m, n) \]

的整数\(m'\), \(n'\). 做法如下: 假如\(m = 0\), 则取\(m' = 0\), \(n' = 1\), 否则我们令\(r = n \\bmod m = n - m\lfloor \frac nm \rfloor\), 递归计算

\[rr'' + mm'' = \gcd(r, m)\\ \]

中满足条件的\(r''\), \(m''\)
又因为有

\[(n - m\lfloor \frac nm \rfloor)r'' + mm'' = \gcd(r, m) = \gcd(m, n) \\ nr'' + m(m'' - m \lfloor \frac nm \rfloor) = \gcd(m, n) \]

因而

\[\begin{cases} n' = r'' \\ m' = m'' - m \lfloor nm \rfloor \end{cases} \]

依据这种方法, 我们总是能找到合法的一组解.

另外的一个小定理

\[k | m且k | n \Leftrightarrow k | \gcd(m, n) \]

至于证明:

\[\because k | m且k | n \\ \therefore k | mm' + nn' \\ \]

又根据上面的扩展欧几里德定理, 我们有

\[mm' + nn' = \gcd(m, n) \\ k | \gcd(m, n) \]

整除意义下的和式处理技巧

\[\sum_{m | n} a_m = \sum_{m | n} a_{n / m}, \ n > 0 \]

这种变换的正确性在于同样都是取遍了\(n\)的每个约数.
同时还有另一种表达方式:

\[\sum_{m | n} a_m = \sum_k \sum_{m > 0} a_m [n = mk] \]

我们再看二重和式中的情况:

\[\sum_{m | n} \sum_{k | m} a_{k, m} = \sum_{k | n} \sum_{l | (n / k)} a_{k, kl} \]

考虑如何证明:
等式的左边是:

\[\sum_{j, l, k, m} a_{k, m} [n = jm][m = kl] = \sum_{j, l, k} a_{k, kl} [jkl = n] \]

等式的右边:

\[\sum_{i, j, k, l} a_{k, kl} [n = ik] [lj = n / k] = \sum_{i, j, k, l} a_{k, kl} [jkl = n] \]

左边等于右边, 证毕.

素数

按照惯例, \(1\)既不是素数, 又不是合数. 假如一个正整数不等于\(1\)且恰好只有\(1\)和\(p\)两个因子, 那么就把这个数称为素数, 否则为合数.

算数基本定理

任何正整数\(n\)都可以表示成素数的乘积:

\[n = p_1 ... p_m = \prod_{k = 1}^m p_k, \ p1 \le ... \le p_m \]

并且对于每个合数, 以上这种站开方式是唯一的, 仅有一种方式将\(n\)按照素数非减的次序写成素数的乘积. 这个定理称为算术基本定理.
考虑如何证明这一定理:
我们令

\[n = p_1 ... p_m = q_1 ... q_k, \ p_1 \le ... \le p_m且q_1 \le ... \le q_k \]

运用数学归纳法, 对于\(n = 1\)的情况, 命题显然就是成立的; 考虑\(n \ge 2\)的情况, 我们只需要证明\(p_1 = q_1\), 然后再递归证明\(p_2 = q_2\)即可.
使用反证法. 假设我们能找到这样的一组\(p_1 \ne q_1\), 由于\(p_1\)和\(q_1\)都是质数, 因此根据扩展欧几里得算法, 我们可以找到一组

\[ap_1 + bq_1 = 1 \]

这样就有了

\[ap_1q_2 ... q_k + bq_1q_2 ... q_k = q_2 ... q_k \\ \]

注意到\(p_1 | n = q_1 ... q_k\), 等式左边被\(p_1\)整除, 因此等式右边也被\(p_1\)整除. 我们又有\(q_2 ... q_k < n\), 根据数学归纳法, \(X = q_2 ... q_k\)只有唯一分解, 因此\(p_1\)只能是\(q_1\)的因数, 这与\(p_1 < q_1\)且\(q_1\)为质数矛盾. 因此假设不成立, 命题得证.
我们更倾向于把算术基本定理表述为另一种形式:

\[n = \prod_p p^{n_p}, \ n_p \ge 0 \]

右边是无穷多个素数的乘积.
另外的就是数系的定义: 我们把序列\(\langle n_2, n_3, n_5, ... \rangle\)看作是正整数的数系, 比如说\(12\)的素指数表示是\(\langle2, 1, 0, 0, ...\rangle\), 而\(18\)的素指数表示就是\(\langle 2, 1, 0, 0, ...\rangle\). 两个数相乘, 直接把其素指数表示相加即可.

同余关系

\[a \equiv b \Leftrightarrow m | a - b \pmod m \]

对于同余, 我们有以下性质:

\[a \equiv b 且 c \equiv d \Rightarrow a + c \equiv b + d \pmod m \\ a \equiv b 且 c \equiv d \Rightarrow a - c \equiv b - d \pmod m \\ a \equiv b 且 c \equiv d \Rightarrow ac \equiv bd \pmod m \\ a \equiv b \Rightarrow a^n \equiv b^n \pmod m , n \ge 0 \\ ad \equiv bd \Leftrightarrow a \equiv b \pmod m, d \perp m \\ ad \equiv bd \pmod {md} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod m \]

中国剩余定理:

\[a \equiv b \pmod{mn} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod m 且 a \equiv b \pmod n, m \perp n \]

独立剩余

我们将一个整数\(x\)表示为一组互素的模的剩余序列:

\[Res(x) = (x \bmod m_1, \cdots, x \bmod m_r), \forall j \ne k有m_j \perp m_k \]

则我们另\(m = \prod_{k = 1}^r m_r\), 我们可以确定\(x \bmod m\).

比如说, 我们观察\(0\)到\(14\)每个数分别模\(3\)和\(5\)得到的余数形成的有序对\(x = (x \bmod 3, x \bmod 5)\)

\(x\)	\(x \bmod 3\)	\(x \bmod 5\)
0	0	0
1	1	1
2	2	2
3	0	3
4	1	4
5	2	0
6	0	1
7	1	2
8	2	3
9	0	4
10	1	0
11	2	1
12	0	2
13	1	3
14	2	4

我们发现每一个有序对都是不同的, 因为根据中国剩余定理, \(x \bmod 3 = y \bmod 3\)且\(x \bmod 5 = y \bmod 5\)的充分必要条件为\(x \bmod 15 = y \bmod 15\).

因此我们可以在两个分量上独立执行加法, 减法和乘法: 考虑用\(13 = (1, 3)\)来乘上\(7 = (1, 2)\), 这相当于独立计算\(1 \times 1 \bmod 3 = 1\)以及\(2 \times 3 \bmod 5 = 1\), 因此答案是\((1, 1) = 1\).

因而\(7 \times 13 \bmod 15 = 1\).