BZOJ4318 OSU!

题面

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5 

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0
N<=100000

题解

我们令随机变量\((i, x)\)表示以第\(i\)位为结尾的最长连续段的长度, 随机变量\(x^2\)表示最长连续段长度的平方, \(x^3\)表示其三次方. 则有

\[E_{i, x} = E_{i - 1, x + 1} \times p \\ E_{i, x^2} = E_{i - 1, (x + 1)^2} \ times p \\ E_{i, x^3} = E_{i - 1, (x + 1)^3} \times p \]

再根据期望的线性, 我们得到

\[E_{i, x} = E_{i - 1, x + 1} \times p \\ E_{i, x^2} = E_{i - 1, x^2 + 2x + 1} \times p\\ E_{i, x^3} = E_{i - 1, x^3 + 3x^2 + ex + 1} \times p \]

根据以上分解把\(E\)拆开算即可.

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define swap std::swap

const int N = (int)1e5;
int main()
{
    int n; scanf("%d", &n);
    double E[4], ans = 0; for(int i = 1; i <= 3; ++ i) E[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        double p; scanf("%lf", &p);
        ans += E[3] * (1 - p);
        E[3] = (E[3] + 3 * E[2] + 3 * E[1] + 1) * p; E[2] = (E[2] + 2 * E[1] + 1) * p; E[1] = (E[1] + 1) * p;
    }
    printf("%.1lf", ans + E[3]);
}