BZOJ2300 [HAOI2011] 防线修建

@(XSY)[凸包]

Description

近来A国和B国的矛盾激化，为了预防不测，A国准备修建一条长长的防线，当然修建防线的话，肯定要把需要保护的城市修在防线内部了。可是A国上层现在还犹豫不决，到底该把哪些城市作为保护对象呢？又由于A国的经费有限，所以希望你能帮忙完成如下的一个任务：

1. 给出你所有的A国城市坐标
2. A国上层经过讨论，考虑到经济问题，决定取消对i城市的保护，也就是说i城市不需要在防线内了
3. A国上层询问对于剩下要保护的城市，修建防线的总经费最少是多少

你需要对每次询问作出回答。注意单位1长度的防线花费为1。
A国的地形是这样的，形如下图，x轴是一条河流，相当于一条天然防线，不需要你再修建
A国总是有两个城市在河边，一个点是(0,0)，一个点是(n,0)，其余所有点的横坐标均大于0小于n，纵坐标均大于0。A国有一个不在(0,0)和(n,0)的首都。(0,0),(n,0)和首都这三个城市是一定需要保护的。
上图中，A,B,C,D,E点为A国城市，且目前都要保护，那么修建的防线就会是A-B-C-D，花费也就是线段AB的长度+线段BC的长度+线段CD的长度,如果，这个时候撤销B点的保护，那么防线变成下图

Input

第一行，三个整数n,x,y分别表示河边城市和首都是(0,0)，(n,0)，(x,y)。
第二行，一个整数m。
接下来m行，每行两个整数a,b表示A国的一个非首都非河边城市的坐标为(a,b)。
再接下来一个整数q，表示修改和询问总数。
接下来q行每行要么形如1 i，要么形如2，分别表示撤销第i个城市的保护和询问。

Output

对于每个询问输出1行，一个实数v，表示修建防线的花费，保留两位小数

Sample Input

4 2 1                                
2                                  
1 2                               
3 2                               
5                                 
2
1 1
2
1 2
2

Sample Output

6.47
5.84
4.47

HINT

\(m<=100000\), \(q<=200000\), \(n>1\)
所有点的坐标范围均在10000以内, 数据保证没有重点

Solution

對於一些只有刪除操作的問題, 考慮離線倒序解決.
比如說這一題, 在凸包上刪點非常困難, 但是可以把問題倒序來做, 變為在凸包上加點.
用一個數據結構來維護凸包上的點(這題用的是set), 每次插入一個點時, 通過查詢以及刪除其左右兩邊的點, 維護凸包.

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<set>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

inline int read()
{
	int x = 0, flag = 1;
	char c;
	while(! isdigit(c = getchar()))
		if(c == '-')
			flag *= - 1;
	while(isdigit(c))
		x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * flag;
}

const int M = 1 << 17, Q = 1 << 18;

struct status
{
	double x, y;
	
	inline status(double _x = 0, double _y = 0)
	{
		x = _x, y = _y;
	}
	
	inline friend int operator <(status a, status b)
	{
		return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x;
	}
	
	inline friend status operator -(status a, status b)
	{
		return status(a.x - b.x, a.y - b.y);
	}
	
	inline friend double operator *(status a, status b)
	{
		return a.x * b.y - a.y * b.x;
	}
}a[M];

set<status> s;

int tag[M];
int opt[Q];

double ans;

inline double getDistance(status a, status b)
{
	return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}


inline void addVertex(status x)
{
	s.insert(x);
	set<status>::iterator L = s.find(x), R = s.find(x), p;
	L --, R ++;
	s.erase(x);
	
	if((*R - *L) * (x - *L) < 0)
		return;
	
	ans -= getDistance(*L, *R);
	
	for(; ; )
	{
		p = R, R ++;
		
		if(R == s.end())
			break;
		
		if((*R - x) * (*p - x) > 0)
			break;
			
		ans -= getDistance(*p, *R);
		s.erase(p);
	}
	
	for(; ; )
	{
		if(L == s.begin())
			break;
			
		p = L, L --;
		
		if((x - *p) * (*p - *L) > 0)
			break;
			
		ans -= getDistance(*p, *L);
		s.erase(p);
	}
	
	s.insert(x);
	L = R = s.find(x);
	L --, R ++;
	ans += getDistance(*L, x) + getDistance(x, *R);
}

double out[Q];

int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ2300.in", "r", stdin);
	freopen("BZOJ2300.out", "w", stdout);
	#endif
	
	int n = read(), x = read(), y = read();
	int m = read();	
	
	for(int i = 0; i < m; i ++)
		a[i].x = read(), a[i].y = read();
	
	int q = read();
	memset(tag, 0, sizeof(tag));
	
	for(int i = 0; i < q; i ++)
	{
		int flag = read() - 1;
		opt[i] = flag ? - 1 : read() - 1;
		
		if(~ opt[i])
			tag[opt[i]] = 1;
	}
	
	ans = getDistance(status(0, 0), status(x, y)) + getDistance(status(x, y), status(n, 0));
	s.insert(status(0, 0)), s.insert(status(n, 0)), s.insert(status(x, y));
	
	for(int i = 1; i < m; i ++)
		if(! tag[i])
			addVertex(a[i]);
			
	for(int i = q - 1; ~ i; i --)
	{
		if(~ opt[i])
			addVertex(a[opt[i]]);
		else
			out[i] = ans;
	}
	
	for(int i = 0; i < q; i ++)
		if(opt[i] == - 1)
			printf("%.2lf\n", out[i]);
}