BZOJ1013球形空间产生器sphere 高斯消元

@[高斯消元]

Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数\(n(1<=N=10)\)。接下来的\(n + 1\)行，每行有\(n\)个实数，表示球面上一点的\(n\)维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过\(20000\)。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（\(n\)个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后\(3\)位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为\((a_1, a_2 .. a_n), (b_1, b_2 .. b_n)\), 则AB的距离定义为：\(dist = \sqrt{(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2 + .. + (a_n - b_n) ^ 2}\)

Solution

這題很尷尬的一點就是方程帶有二次項, 而且半徑也尚不能確定.
然而又發現, 這題只有\(n\)個未知數, 但是給了\(n + 1\)個點的座標. 因此, 這一題可以通過作差的方式把二次项降到一次項. 具體來說, 就是:
原式:

\[(a_1 - x_1) ^ 2 + (a_2 - x_2) ^ 2 + .. + (a_n - x_n) ^ 2 = r ^ 2 \]

\[(b_1 - x_1) ^ 2 + (b_2 - x_2) ^ 2 + .. + (b_n - x_n) ^ 2 = r ^ 2 \]

作差後:

\[(a_1 - x_1) ^ 2 + (a_2 - x_2) ^ 2 + .. + (a_n - x_n) ^2 = (b_1 - x_1) ^ 2 + (b_2 - x_2) ^ 2 + .. + (b_n - x_n) ^ 2 \]

即

\[2 * (a_1 - b_1) * x_1 + (a_2 - b_2) * x_2 + .. + (a_n - b_n) * x_n = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + .. + a_n ^ 2 - b_1 ^ 2 - b_2 ^ 2 - .. - b_n ^ 2 \]

因此\(n - 1\)個座標得到\(n\)個線性方程組, 可以用高斯消元發解決.
至於關於高斯消元發的具體步驟, 直接看代碼就好了.

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1 << 4;
double f[N];
double equa[N][N];

inline double sqr(double x)
{
	return x * x;
}

int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ1013.in", "r", stdin);
	freopen("BZOJ1013.out", "w", stdout);
	#endif
	
	int n;
	scanf("%d", &n);
	
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		scanf("%lf", &f[i]);
		
	memset(equa, 0, sizeof(equa));
	
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		for(int j = 0; j < n; j ++)
		{
			double x;
			scanf("%lf", &x);
			equa[i][j] = 2 * (x - f[j]);
			equa[i][n] += sqr(x) - sqr(f[j]);
		}
	
	for(int i = 0; i < n; i ++)
	{
		double mx = - 1.0;
		int ID;
		
		for(int j = i; j < n; j ++)
			if(fabs(equa[j][i]) > mx)
				mx = fabs(equa[j][i]), ID = j;
				
		swap(equa[ID], equa[i]);
			
		for(int j = 0; j < n; j ++)
			if(i != j)
				for(int k = n; ~ k; k --)
					equa[j][k] -= equa[j][i] / equa[i][i] * equa[i][k];
	}
	
	for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
		printf("%.3lf ", equa[i][n] / equa[i][i]);
		
	printf("%.3lf\n", equa[n - 1][n] / equa[n - 1][n - 1]);
}