BZOJ3270 博物館 概率DP 高斯消元

BZOJ3270 博物館 概率DP 高斯消元

@(XSY)[概率DP, 高斯消元]

Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。
两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）
不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。
两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。
两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。
之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。
之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。
题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）
注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

Solution

令\(f_{x, y}\)表示連個男孩在结束游览前分別到达\(x\), \(y\)房間的概率, 則有如下轉移方程:

\[f_{x, y} = p_x * p_y * f_{x, y} + \frac{(1 - p_i) * p_y}{cnt_i} * f_{i, y} + \frac{(1 - p_j) * p_x}{cnt[j]} * f_{x, j} + \frac{(1 - p_i) * (i - p_j)}{(1 - cnt_i) * (1 - cnt_j)} * p_{i, j}$$意思是分開三類情況討論, 第一類情況是兩個人都已經在$(x, y)$的狀態下, 則下一個狀態還是在$(x, y)$的概率為$$p_x * p_y * f_{x, y}$$; 第二類情況是其中一個人已經在$x$或$y$點, 另外一個人要走過來, 概率為$$\frac{(1 - p_i) * p_y}{cnt_i} * f_{i, y} + \frac{(1 - p_j) * p_x}{cnt[j]} * f_{x, j}$$; 第三類情況是兩個人都要從別處走過來, 則概率為$$ \frac{(1 - p_i) * (i - p_j)}{(1 - cnt_i) * (1 - cnt_j)} * p_{i, j} \]

移項得到最終需要的方程.
注意这里的结束条件是两个人同时出现在一个房间里, 所以方程不能 \(i == j\) 的状态转移而来, 因而系数要特判为\(0\)
在代碼實現的時候, 可以枚舉每一對\((x, y)\)和對應的\((i, j)\)以得到方程.
设定起点的写法要注意, 已经在代码中注明.

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

const int siz = 1 << 5;

int n, m, a, b, cnt[siz], map[siz][siz], id[siz][siz];

double p[siz], f[siz*siz][siz*siz];

inline int pos(int x, int y)
{
    return (x - 1) * n + y;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &a, &b);
    
    for (int i = 1, x, y; i <= m; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        map[x][y] = true;
        map[y][x] = true;
        ++cnt[x];
        ++cnt[y];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%lf", p + i), map[i][i] = 1;
    
    int tot = 0;
	  
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    	for (int j = 1; j <= n; ++j)
            id[i][j] = ++tot;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
        {
            f[id[i][j]][id[i][j]] = -1.0;
            for (int k = 1; k <= n; ++k)
                for (int l = 1; l <= n; ++l)
                    if (k != l)
                    {
                        int x = id[i][j];
                        int y = id[k][l];
                        if (map[k][i] && map[l][j])
                        {
                            if (k == i && l == j)f[x][y] += p[k]*p[l];
                            if (k != i && l == j)f[x][y] += (1.0 - p[k]) / cnt[k] * p[l];
                            if (k == i && l != j)f[x][y] += (1.0 - p[l]) / cnt[l] * p[k];
                            if (k != i && l != j)f[x][y] += (1.0 - p[k]) / cnt[k] * (1.0 - p[l]) / cnt[l];
                        }
                    }
        }
        
    f[id[a][b]][id[n][n] + 1] = -1.0;	//因為開始時(a, b)的概率為1, 所以移項得到等式右邊為- 1 
    
    int mx = id[n][n] + 1;
        
    for (int i = 1; i < mx; ++i)
    {
        int r = i;
            
        for (int j = i + 1; j < mx; ++j)
            if (fabs(f[j][i]) > fabs(f[r][i]))
                r = j;
                    
        swap(f[i], f[r]);
            
        for (int j = i + 1; j < mx; ++j)
        {
            long double t = f[j][i] / f[i][i];
                
            for (int k = i; k <= mx; ++k)
                f[j][k] -= t * f[i][k];
        }
    }
        
    for (int i = mx - 1; i >= 0; --i)
    {
        for (int j = i + 1; j < mx; ++j)
            f[i][mx] -= f[j][mx] * f[i][j];
        f[i][mx] /= f[i][i];
    }
    
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%.6lf ", f[id[i][i]][id[n][n] + 1]);
}