SG函数学习总结

有点散乱, 将就着看吧.
首先是博弈论的基础, 即 N 和 P 两种状态: N 为必胜状态, P 为必败状态.
对于N, P两种状态, 则有
1. 没有任何合法操作的状态, P;
2. 可以移动到P局面的情况为N状态;
3. 可以移动到的所有状态均为N状态, 则当前情况为P状态.
然后就可以引入SG函数了.

首先定义mex运算, 这是施加于一个集合的运算, 表示最小的不属于这个集合的非负整数。
for instance,
mex{0, 1, 2, 4} = 3、mex{2, 3, 5} = 0、mex{} = 0。
对于一个给定的有向无环图, 定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x) = mex{ g(y) | y是x的后继}, 这里的g（x）即
sg[x]。

例如：取石子问题, 有1堆n个的石子, 每次只能取{1, 3, 4}个石子, 先取完石子者胜利, 那么各个数的SG值为多少？
sg[0] = 0, f[] = {1, 3, 4},
x = 1时, 可以取走1-f{1}个石子, 剩余{0}个, mex{sg[0]} = {0}, 故sg[1] = 1;
x = 2时, 可以取走2-f{1}个石子, 剩余{1}个, mex{sg[1]} = {1}, 故sg[2] = 0；
x = 3时, 可以取走3-f{1, 3}个石子, 剩余{2, 0}个, mex{sg[2], sg[0]} = {0, 0}, 故sg[3] = 1;
x = 4时, 可以取走4-f{1, 3, 4}个石子, 剩余{3, 1, 0}个, mex{sg[3], sg[1], sg[0]} = {1, 1, 0}, 故sg[4] = 2;
x = 5时, 可以取走5-f{1, 3, 4}个石子, 剩余{4, 2, 1}个, mex{sg[4], sg[2], sg[1]} = {2, 0, 1}, 故sg[5] = 3；

以此类推…..

x   0   1   2   3   4   5   6   7   8
sg  0   1   0   1   2   3   2   0   1

这里的sg函数与上面提到的N, P两种状态实际上是吻合的, 当 sg[i] == 0 时, 处于P状态; 否则处于N状态.