模电复习

专有名词

• （理想）电流源：(ideal) current source；（理想）电压源：(ideal) voltage source；
• 外电路：external circuit；
• 半导体：semiconductor；二极管：diode；三极管：triode；晶体管：transistor；
• 自由电子：free electron；
• 支路：branch；
• 开路：open-circuit；短路：short-circuit；
• 等效变换：equivalent transformation；
• 串联：series connection；并联：parallel connection；
• 正弦电流：Sinusoidal current；
• 变压器：transformer；整流器：rectifier；滤波：wave filtering；稳压：voltage stabilizing；
• 相位差：phase difference；
• 电容器：capacitor；电感：inductor；
• 截止区：cutoff region；放大区：amplified region；饱和区：saturated region；
• 静态工作点：quiescent operation point；微变等效电路：micro-variation equivalent circuit ；

直流电路

等效电路

\[\begin{cases}R_{U0} = R_{I0} \\U_S = I_S R_0\end{cases} \]

支路电流分析法

B条支路，设B个未知数。N个节点，任意选取其中N -1个列KCL方程；再选取B-N+1个回路列KVL方程。解方程即可。

节点电压分析法

节点电压方程：N个节点，令其中一个节点电势为0，设N-1个节点的电势，列N-1个节点电流方程，流入电流之和等于流出电流之和。

无伴电源处理：增加未知数，设通过电源的电流为\(I_S\)，再增加方程：\(U_k - U_j = U_S\)。

快速建立节点电压方程：将所有电压源转换为电流源，则对于节点k，我们有

\[G_{kk} \cdot U_k + \sum_{j \ne k} G_{kj} \cdot U_j = I_{Sk} \]

自电导\(G_{AA}\)的系数是所有连接到节点A的电阻支路电导之和；

互电导\(G_{AB}\)的系数是A和B之间的电阻支路电导之和的负值。

叠加定理

……各支路电压、电流响应都是独立电源共同激励产生的。对于线性电路，响应电压、电流与激励电源之间满足线性性关系，因此可将多电源激励的电路问题分解为多个单电源激励的电路问题。

不能用于计算功率。

替代定理

不明确。

等效电源定理

戴维宁定理

任何一个有源线性电路，对外电路而言，等效成一个数值为\(U_{OC}\)的理想电压源和内阻为\(R_0\)相串联的电压源。等效电源的电动势就是有源二端网络的开路电压，而内阻等于将其中所有独立电源置零后得到的无源二端网络在两端看进去的等效电阻。

诺顿定理

类比戴维宁定理。\(I_{SC}\)数值上等于该二端网络的短路电流。

交流稳态电路

正弦量及其相量表示

正弦量的三要素：周期、振幅、频率。

\[T = \frac{2\pi}{\omega} \\ f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \]

由于

\[e^{jx} = \cos x + j \sin x \]

正弦量\(i(t) = \sin (\omega t + \theta)\)可以表示为

\[i(t) = I_m \sin(\omega t + \theta) = \Im \{ I_m e^{j(\omega t + \theta)} \} \]

定义复常数\(\dot{I}_m = I_m e^{j\theta} = I_m \angle \theta\)

则有

\[i(t) = \Im \{ \dot{I}_m e^{j \omega t} \} \]

\(\dot{I}_m\)称为正弦量i的振幅相量。同样地，我们还有正弦量的有效相量\(\dot{I}\)。

\[\dot{I}_m = \frac{1}{\sqrt{2}}\dot{I}_m \]

相量计算：

加减：直角坐标；乘除：极坐标。

任一相量乘以+j后，相当于该相量逆时针旋转\(90^\circ\)。

元件的相量模型

电阻

\[\dot{U} = R\dot{I} \space 或 \space \dot{U}_m = R\dot{I}_m \]

电容

\[\begin{align} i &= C \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} \\ &= C \frac{\mathrm{d}}{dt}U_m \sin (\omega t) \\ &= \omega CU_m\sin (\omega t + 90^\circ) \\ &= I_m\sin (\omega t + 90^\circ) \end{align} \]

因此可见电压的相位滞后电流\(90^\circ\)，且满足

\[I = \omega CU = \frac{U}{X_c} \space 或 \space I_m = \omega CU = \frac{U_m}{X_c} \]

其中容抗\(X_c = \frac{1}{\omega C}\)，单位为欧姆。

用相量表示电压和电流，则有

\[\dot{U} = -\mathrm{j}X_c \dot{I} \space 或 \space \dot{U}_m = -\mathrm{j} X_c \dot{I}_m \]

其中\(\frac{\dot{U}}{\dot{I}} = -\mathrm{j}X_c = \frac{1}{\mathrm{j}\omega C} = Z_c\)，是电容在相量域的参数。

电感

\[\begin{align} u &= L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \\ &= L\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I_m\sin \omega t \\ &= \omega LI_m \sin(\omega t + 90^\circ) \\ &= U_m \sin(\omega t + 90^\circ) \end{align} \]

其中感抗\(X_L = \omega L\)，单位为欧姆。

用相量表示电压和电流，则有

\[\dot{U} = \mathrm jX_L I \space 或 \space \dot{U}_m = \mathrm jX_L I_m \]

其中\(\frac{\dot{U}}{\dot{I}} = jX_L = \mathrm{j}\omega L = Z_L\)，是电感在相量域的参数。

正弦稳态电路分析

基尔霍夫定律：

\[\sum_{任意节点} \dot{I}_k = 0 \\ \sum_{任意回路} \dot{U}_k = 0 \]

电路分析方法同直流电路。

抗阻：\(Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}}\)，单位为欧姆（\(\omega\)）；\(\phi_Z\)为阻抗角。阻抗角大于0时电路呈电感性；阻抗角小于0时电路呈电容性。

导纳：\(Y = \frac{1}{Z}\)，单位为西门子（S）；\(\phi_Y = -\phi_Z\)，称为导纳角。

正弦稳态电路功率及功率因数

瞬时功率：\(p(t) = i(t) \cdot u(t)\)，单位为瓦。

平均功率：\(P = \overline{p(t)} = UI \cos \phi\)，单位为瓦。

无功功率：\(Q = UI \sin \phi_Z\)，单位为泛（var）。

视在功率：\(S = UI = |Z| I^2\)，单位为伏安（\(V \cdot A\)）。

谐振

仅讨论负载为电阻与电感串联的情况。

串联谐振

条件：\(X_L = X_C\) 即 \(\omega L = \frac{1}{\omega C}\)

由上式得

\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

并联谐振

\[\begin{align} \dot{I} &= \dot{I}_c + \dot{I}_L \\ &= \mathrm{j}\omega C\dot{U} + \frac{\dot{U}}{\mathrm{j}\omega L + R} \\ &= \dot{U} \cdot \left[ \frac{r}{r^2 + \omega^2 L^2} -\mathrm{j} \left( \omega C - \frac{\omega L}{r^2 + \omega^2 L^2}\right) \right] \end{align} \]

要使\(\phi = 0\)，则有

\[\frac{r}{r^2 + \omega^2 L^2} -\mathrm{j} \left( \omega C - \frac{\omega L}{r^2 + \omega^2 L^2}\right) = 0 \]

因此

\[\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{r^2}{L^2}} \approx \sqrt{\frac 1{LC}} \\ f_0 = \frac 1{2\pi} \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{r^2}{L^2}} \approx \frac 1{2\pi} \sqrt{\frac{1}{LC}} \]

暂态电路分析

对于电阻和单一储能元件串联的电路，对于其中的任一原件（不论是储能元件还是耗能元件）我们有如下公式：

\[u(t) = u(\infty) + [u(t_0^+) - u(\infty)]e^{-\frac{t-t_0}{\tau}} \\ i(t) = i(\infty) + [i(t_0^+) - i(\infty)] e^{-\frac{t - t_0}{\tau}} \]

其中对于电容，我们有\(\tau = RC\)，对于电感我们有\(\tau = \frac L R\)。

晶体管放大电路

晶体管的特性曲线

输出\(U_{CE}\)：截止区，放大区，饱和区。

晶体管放大电路

基本共射极电路

符号表示：

以基极电流和电压为例，

直流分量	交流分量（瞬时值）	交流分量（有效值）	合成全量瞬时值
\(I_B\)	\(i_b\)	\(I_b\)	\(i_B = I_B + i_b\)
\(U_{BE}\)	\(u_{be}\)	\(U_{be}\)	\(u_{BE}\)

静态分析：

\[I_{BQ} = \frac{U_{CC} - U_{BE}}{R_B} \\ I_{CQ} = \beta I_{BQ} \\ U_{CEQ} = U_{CC} - I_{CQ} R_C \]

注意判断\(U_{CEQ}\)是否大于\(U_{CES}\)。

将第三条式子稍作调整，我们有

\[I_{CQ} = \frac{U_{CC} - U_{CEQ}}{R_C} \]

在晶体管输出特性曲线上作图，我们有：

动态分析：

微变等效电路：

$$ r_{be} = r_{bb'} + r_{b'e} = r_{bb'} + \beta \frac{U_T}{I_C} \\ $$ 其中$r_{bb'}$默认等于10，$U_{T}$在温度为$27^\circ$为25.8，且与温度成正比。 $$ \dot{U}_i = r_{be} \dot{I}_b \\ \dot{U}_0 = -\beta (R_C // R_L) \dot{I}_b \\ A_u = \frac{\dot{U}_i}{\dot{U}_i} = -\beta \frac{R_C // R_L}{r_{be}} $$ 输入电阻：$r_i = R_B // r_{be}$；

输出电阻：\(r_o = R_C\)

静态工作点稳定电路

静态分析：

\[U_{BB} = U_{CC} \frac{R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}} \\ I_{BQ} = \frac{U_{BB} - U_{BE}}{R_{B1} // R_{B2} + (1 + \beta)R_E} \\ U_{CEQ} = U_{CC} - R_C I_{CQ} - R_E I_{EQ} \]

动态分析：画出微变等效电路，略。

射极输出器

略。

集成运算放大电路的线性应用

基础

• 虚断：\(i_+ = i_- = i_O = 0\)
• 虚短：\(u_+ = u_-\)
• 验证\(u_O\)是否在线性区内

反相比例运算电路

$$ u_O = - \frac{R_F}{R_1} u_I $$

同相比例运算电路

$$ u_O = \left( 1 + \frac{R_F}{R_1} \right)u_I $$

反相加法运算

同相加法运算

负反馈类型判断

特征	反馈信号接在非输入端	反馈信号接在输入端
反馈信号直接取自输出端	电压串联	电压并联
反馈信号经过负载后取自输出端	电流串联	电流并联

直流电源

组成部分：

1. 变压
2. 整流
3. 滤波
4. 稳压