平面

对前面一章空间几何体的理解可能还是有一些naive, 所以假如要写学习笔记或总结的话, 以后再补上了. 这一章是新的内容.

一些基本的表达

• 点\(A\)在直线\(a\)上, 记作\(A \in a\)
• 点\(A\)在平面\(\alpha\)内, 记作\(A \in \alpha\)
• 直线\(a\)在平面\(\alpha\)内, 记作\(a \subset \alpha\).

大概可以这么理解, 我们把点看作是最基本的元素, 因为点可以在线和面上, 所以点可以属于线和面; 线是点的集合且可以在面上, 因此线可以是面的子集.
还有一些概念:

• 空间四边形:

公理

• 如果一条直线上的两个点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 概括起来就是: 两点确定一条直线. $$\left. \begin{array}{} A \in l, B \in l \ A \in \alpha, B \in \alpha\end{array}{} \right} \to l \subset \alpha$$
• 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面(注意: 很多题在这上面会是一个分类讨论的点, 讨论是否存在三个点在同一直线上). 概括起来就是: 不共线的三点确定一个平面.$$A, B, C不共线 \to A, B, C确定平面 \alpha$$下面是一些推论:
  • 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且仅有一个平面.
  • 经过两条相交的直线, 有且只有一个平面
  • 经过两条平行直线, 有且只有一个平面.
• 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且仅有一条过该公共点的公共直线. 概括起来就是: 两个平面相交得到的是一条直线. $$P \in \alpha, P \in \beta \to \begin{cases} A \cap B = l \ P \in l \end{cases}$$

一些常见的做法

• 证共线: 两个面的相交得到的是一条直线.
• 证四点共面: 分为两组, 连起来, 通过两条平行的直线共面来证.

判断题

• 判断如下命题:
  1. 经过空间任意三点有且只有一个平面.
     错.
     当这三个点共线时, 不能确定一个平面.
  2. 在空间两两相交的三条直线必共面.
     错.
     假如三条直线共点, 则不一定共面.

   总之都是围绕公理2的分类讨论来考察的.