关于三角恒等变换与正余弦定理的学习总结

知识点

三角函数诱导公式
和差倍角公式
基本的三角恒等变换
正弦定理基本应用
余弦定理基本应用
射影定理

注意事项

1. 这两章涉及的公式较多, 注意公式的运用以及代入运算不要出错, 尤其是不要漏各种\(\frac{1}{2}\)
2. 勿忘分类讨论

一些较为陌生的公式和构造

1. 三角函数开根 注意不要漏\(\frac{1}{2}\) $$\sqrt{1 \pm \sin \alpha} = \sqrt{\left( \sin \frac{a}{2} \pm \cos \frac{a}{2} \right)^2}$$ $$\sqrt{1 + \cos \alpha} = \sqrt{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$$ $$\sqrt{1 - \cos \alpha} = \sqrt{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}$$
2. 三角函数降幂 $$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha)$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha)$$ $$\tan^2 \alpha = \frac{1 - 2 \cos \alpha}{1 + 2 \cos \alpha}$$
3. 正弦与余弦相乘的降幂 $$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2 \alpha$$
4. **正弦相减或余弦相减(重要): **我们令$$\omega = \frac{\alpha + \beta}{2}, \phi = \frac{\alpha - \beta}{2}$$ 则有 $$\cos \alpha - \cos \beta = 2 \sin \omega \cdot \sin \phi$$ $$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \omega \cdot \sin \phi$$
5. \(\tan \alpha\)与\(\sin 2 \alpha\), \(cos 2 \alpha\)的相互转化 $$\tan^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{1 + \cos 2 \alpha}$$ $$\sin 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$ $$\cos 2 \alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$ 第一个公式的证明略; 后两个公式的证明: 等式左边除以\(1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\), 得到$$\sin 2\alpha = \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$ $$\cos 2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha - \sin2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$
6. 在一个三角形中, $$\sin(A + B) = \sin(C)$$
7. 三角形面积公式有$$S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$ 证明: 根据正弦定理, 有 $$S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \cdot b \cdot c}{2R} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$
8. 射影定理: 在\(\triangle ABC\)中, $$b = a \cos C + c \cos A$$ 证明: 正弦定理, 略.