摘要：
介绍 解决树上问题的时候，对于路径问题我们会想到树分治、启发式合并。对于子树问题我们会想到在 dfs 序上转化为序列问题方便维护。 那么对于路径问题，能不能也转化为序列问题？ 可以的。 这就是树链剖分在做的事情：把一棵树划分为若干段 dfn 连续的区间，使得某一个路径可以被拆分为 $O(\log n 阅读全文
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多项式，就是提供了一个代数手段解决问题。——rsy 1 多项式的次数 1.1 差分法 考虑一个数列 ${a_n}$。其是一个关于 $n$ 的 $v$ 次多项式。 对数列做 $d$ 阶差分之后变成一个非零常数数列（所有 $a_i$ 都是一个固定的非零常数）等价于多项式的次数为 $d$。 证明： 考虑 阅读全文
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费用：给每一条边定义一个费用，那么对于一个可行流，其费用为 $\sum \limits_{e \in E} flow(e) \times cost(e)$。 最小费用最大流：对于所有最大可行流中费用最小的那一个。 求法：考虑朴素的 ek 算法。是每次 BFS 得到一条增广路，然后进行增广操作。 对于 阅读全文
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复数 复数的代数表示：$a+bi$，定义 $i^2=-1$。 四则运算： 其中 $a+bi$ 和 $a-bi$ 是共轭复数，其乘积为 $a^2+b^2$。 复数的几何表示：实轴和虚轴两个轴组成平面直角坐标系，构成复平面，一个复数就是复平面上的一个向量。 相反数、加法、乘法运算如下图所示。 乘法运算的 阅读全文
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JOI2023 C 【题意】 给定一个 $n \times m$ 的 $01$ 网格，有一个 $k \times k$ 的印章，可以花费 $1$ 的代价盖在任何一个地方并把这些格子都变成 $0$。求使得起点和终点之间有一条只由 $0$ 组成的边花费的最小代价。 考虑正解： 这么一个流程，我们怎么实现 阅读全文
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Part1 D 【题意】 有一个数组 ${a_n}$，给定 $x,k$，现在要将数组内 $k$ 个数加上 $x$，其他的数减去 $x$。问得到的所有可能数组中最大子段和的最大值。 $1 \le n \le 2 \times 10^5, 0 \le k \le \min(20, n), -10^9 \ 阅读全文
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线段树优化建图 解决的是这样的一类问题：区间对区间连边，在这类图上做一些事情。（先假设是最短路，这个性质好一些） 区间问题会想到线段树。可以想到用线段树建立的虚点做这件事。具体怎么办呢？ 底下两排叶子其实是一样的。也可以缩成一排。看怎么使用。两排的好处也有，点权可以放到上去的边上。 这样做了之后，每 阅读全文
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问题背景： （组合版本）$n$ 个小球放入 $m$ 个盒子中。 （集合版本）$n$ 元集合映射到 $m$ 元集合。 有 $12$ 种对方案的计数方式。球和盒子是否相同（意思是，对于两个相同的球，交换其映射对象得到的方案视为一种）有四种；限制方式（无限制；每个盒子放 $\le 1$ 个球/单射；每个盒 阅读全文
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在数学和抽象代数中，**群论**（Group Theory）主要研究叫做「群」的代数结构。 ## 1 群论简介 ### 1.1 定义 在数学中，**群**（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。 一个群是一个集合 $G$ 加上对 $G$ 的二元运算。二元运算用 阅读全文
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排列映射到整数的一种方式，可以把排列映射到一个 $[1,n!]$ 的整数，并且等于其在所有排列中的排名。也可以反着映射回去。 用树状数组做，$O(n \log n)$。 反着映射是怎么搞呢，直接每一次对 $i!$ 取除法，然后放权值线段树上二分就好了。 阅读全文