2023 年 2月随笔档案 - OIer某罗

数据结构优化建图

摘要：线段树优化建图解决的是这样的一类问题：区间对区间连边，在这类图上做一些事情。（先假设是最短路，这个性质好一些）区间问题会想到线段树。可以想到用线段树建立的虚点做这件事。具体怎么办呢？底下两排叶子其实是一样的。也可以缩成一排。看怎么使用。两排的好处也有，点权可以放到上去的边上。这样做了之后，每阅读全文

posted @ 2023-02-19 17:00 OIer某罗阅读(134) 评论(0) 推荐(1) 编辑

十二重计数法

摘要：问题背景：（组合版本）

n

$n$ 个小球放入

m

$m$ 个盒子中。（集合版本）

n

$n$ 元集合映射到

m

$m$ 元集合。有

12

$12$ 种对方案的计数方式。球和盒子是否相同（意思是，对于两个相同的球，交换其映射对象得到的方案视为一种）有四种；限制方式（无限制；每个盒子放

\leq 1

$\le 1$ 个球/单射；每个盒阅读全文

posted @ 2023-02-19 00:19 OIer某罗阅读(551) 评论(0) 推荐(2) 编辑

群论初步

摘要：在数学和抽象代数中，**群论**（Group Theory）主要研究叫做「群」的代数结构。 ## 1 群论简介 ### 1.1 定义在数学中，**群**（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。一个群是一个集合

G

$G$ 加上对

G

$G$ 的二元运算。二元运算用阅读全文

posted @ 2023-02-18 21:28 OIer某罗阅读(353) 评论(0) 推荐(1) 编辑

康托展开

摘要：排列映射到整数的一种方式，可以把排列映射到一个

[1, n!]

$[1,n!]$ 的整数，并且等于其在所有排列中的排名。也可以反着映射回去。用树状数组做，

O (n \log n)

$O(n \log n)$ 。反着映射是怎么搞呢，直接每一次对

i!

$i!$ 取除法，然后放权值线段树上二分就好了。阅读全文

posted @ 2023-02-14 16:37 OIer某罗阅读(15) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Ucup 3. Poland E

摘要：【题意】求（题意已经经过简化）

n \leq 10^{11}

$n \le 10^{11}$ 【分析】这里考虑两个整除分块嵌套的时间复杂度。等于有结论：

1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + . . . + n^{k}

$1^k +2^k + 3^k +... + n^k$ 。当

k

$k$ 是正整数的时候，我们知道他是一个

k + 1

$k + 1$ 次多项式。猜测它对正实数都成立。当 $k = 阅读全文

posted @ 2023-02-12 15:21 OIer某罗阅读(14) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Um_nik

摘要：【题意】给定两个集合

S, T

$S,T$ ，集合里每个元素都是一个二元组

(v_{i}, s_{i})

$(v_i, s_i)$ 。求

min_{i \in [1, | S |], j \in [1, | T |]} \frac{s_{j} - s_{i}}{v_{j} + v_{i}}

$\min \limits_{i \in [1, |S|], j \in [1, |T|] }{\cfrac{s_j - s_i}{v_j + v_i}}$ 。 $|S|, |T| \le 10^5, v_ 阅读全文

posted @ 2023-02-12 09:45 OIer某罗阅读(122) 评论(0) 推荐(1) 编辑

原根

摘要：考虑对于

i \in 0 \sim p - 1

$i \in 0 \sim p - 1$ 的

a^{i} mod p

$a^i \bmod p$ 的取值，其中

a \in [1, p), p

$a \in [1, p), p$ 是素数。首先

a^{0} = a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)

$a^0 = a^{p - 1} \equiv 1(\bmod p)$ ，那么会出现一个循环结构。对于循环节中的任意两个数，可以证明这两个数不同，理由是阅读全文

posted @ 2023-02-11 17:16 OIer某罗阅读(24) 评论(0) 推荐(1) 编辑

数论卷积相关

摘要：积性函数如果函数是积性函数，那么只需要知道其在

1, p^{k}

$1, p^k$ 处的取值，那么已经完全了解了这个函数。这极大简化了问题。随便看个例子：求因子和函数

σ

$\sigma$ 是什么。首先证明是积性函数。考虑

id * 1 = σ

$\operatorname{id} * \mathbf 1 = \sigma$ ，因此是积性阅读全文

posted @ 2023-02-03 00:11 OIer某罗阅读(197) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Zeardoe

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