猫咪 023

CSP 2023 第一轮复习讲义

1. 竞赛环境

• NOI 机试使用的操作系统是 Linux。

Linux 终端命令

在 Linux 中：

• cd （change directory）命令用于更改当前工作目录（工作目录即所有命令在哪一个文件夹下生效）。命令语法是 cd 目标目录名。
  • 返回上一级目录（父目录）使用的是 cd ..。
  • 返回根目录使用的是 cd /。
• ls（list）命令用于显示当前工作目录下的文件或者文件夹。命令语法是 ls [选项]。
  • 可以查看包括隐藏文件的所有文件的是 ls -a（all）。
  • 可以输出文件详细信息（例如大小、最后修改时间、权限）的是 ls -l（long）。
  • 可以按文件修改时间排序的是 ls -t（time）。
  • 可以将输出结果反转的是 ls -r（reverse）。
  • 上述后缀可以一起使用，例如 ls -la 显示所有文件的详细信息。
  • 可以将当前目录下的文件名打印到 tmp 文件中的命令是 ls > tmp。
• cp（copy）命令用于复制文件。命令语法是 cp [选项] 源文件或目录 目标文件或目录，例如要将 test.txt 文件复制一份到 Documents 文件夹，命令为 cp test.txt Focuments。
• mv（move）命令用于将一个文件从一个目录移动到另一个目录。命令语法是 mv [选项] 源文件名 目标目录名，例如要将 test.txt 文件移动到 Documents 文件夹，命令为 mv test.txt Focuments。
  • mv 命令也可以用于给文件重命名（改名）。这种情况下命令语法是 mv 旧文件名 新文件名，也即第二个参数是文件名而不是目录名。
  • mv 命令具体做的事只取决于第二个参数是已存在的目录名还是文件名。例如你可以将一个目录改名，只需要使得新目录名并不在当前工作目录中已存在过即可。如果你要移动，也可以移动一个目录，只需要保证目标目录名是存在过的即可。
  • 在使用 mv 做移动操作时，可以接受多个第一参数，表示将若干个文件移动到一个目录内，系统会接受最后一个字符串作为第二参数。
  • -u （update）选项，希望只有源文件比目标文件的最后更改时间更新时才移动。
• kill 命令可以终止（也称杀死）指定的进程。
• killall 命令和 kill 类似，也是杀死进程用的，其区别是 killall 接受的参数是进程名字，而 kill 接受的参数是进程的编号，killall 会将所有名字等于接受参数的进程杀掉。可以类比在 multiset 中传入指针和名字的效果。
• sudo （superuser do）前缀，用于获取管理员权限。
• rm（remove）命令用于删除目录下的文件，命令语法是 rm [选项] 文件名/目录名。
  • -i （interactive）选项，交互模式，在删除每一个文件的操作前有确认提示。
  • -r （recursive）选项，参数传入目录名，递归地删除目录中的所有文件和目录。
  • -f （force）选项，强制删除，忽略不存在的文件或目录。
  • sudo rm -rf * 是一个火出圈的梗，在使用管理员权限加了 -r -f 两个选项之后删掉了根目录下的所有文件和目录，电脑清理大师。
• rmdir 命令和 rm 类似，但是它传入的参数必须是一个空目录才能删除。
• pwd（print work directory） 命令输出当前所在的子文件夹的全路径。例如目前在 F:\code 目录下，执行 pwd 命令就会输出 F:\code。
• ps（process status） 命令用于查看当前正在运行的进程。
  • Linux 下的进程有五种状态：运行、终端、不可中断、僵死、停止状态。其中 ps 查看的是正在运行的状态。
  • ps 命令不仅可以查看现在正在运行的所有进程名称，还可以看到运行状态，例如进程号码、发起者、CPU 利用率、内存使用率等。
• mkdir（make directory） 命令用于创建一个新目录。该命令需要一个参数：新目录的名称。例如，若要在当前目录中创建一个名为 test 的新目录，可以使用以下命令：mkdir test。

g++ 命令

• linux 中编译 C++ 程序的编译器是 g++。
• g++ 的命令语法是 g++ [选项] 编译文件名 -o 可执行文件别名。
• 和很多 Linux 的命令不一样的是，g++ 的选项有单字符选项例如 -l，也有多字符选项例如 -ansi，但是不能直接将若干个单字符选项写在一起，例如 -pg 不等于 -p 和 -g 的组合。
• 如果 C++ 程序中使用了 math.h 中的函数，使用 g++ 编译时需要加入选项 -lm。-l 选项是指定需要的链接库名称的，而 m 是数学库 math.h 的意思。如上条所述的是，这个 -lm 选项是一个独立的选项。
• 其实 -o 也是一个选项，它是用来指定输出文件名字的。如果不加 -o，例如我直接 g++ H.cpp，它会把 H.cpp 编译出来的可执行文件默认叫做 a.exe，而加上 -o 你才能指定编译出来的东西叫什么。
• -g 用来生成调试信息。
• -c 的作用是编译生成目标文件（是二进制程序，也就是机器语言的程序，扩展名为 .o）而不是可执行文件。

Vim 命令

• Vim 的一个设计理念就是让所有操作都在键盘下完成，避免使用鼠标，淡化方向键。因此设计了许多被称之为“命令”的快捷键。

• Vim 编辑器有三个运行模式：普通模式、编辑模式和命令模式。其中刚打开的时候默认是普通模式，普通模式下键盘输入 i 或 a 等可以切换到编辑模式；普通模式键盘输入 : 可以切换到命令模式（会在屏幕最下端出现一行可以输入命令的命令行，出现一个 :）；按一下（或者多下）键盘 esc（Escape） 键可以从其他模式切换到普通模式。

• 普通模式下的一些命令：

  • hjkl：方向键，分别是左下上右。前面加数字，比如 4k 就是向上跳 \(4\) 行，4h 就是向左 \(4\) 格。
  • w（word）：可以跳转到下一个单词的开头。b（beginning）：可以跳转到上一个单词的开头。2b：向上移动 2 个单词。e：同 w，但是光标停在单词末尾；ge：同 b，但是光标停在单词末尾。
  • gg：跳转到文档最上方（第一行第一个字符），对应 vscode 的 Home。G：跳转到文档最下方，对应 vscode 的 End。
  • Ctrl + U 对应向上翻页，Ctrl + D 对应向下翻页。
  • f（find），后面跟一个字符，跳转到下一个该字符处，例如 fr 跳转到下一个 r 字符的位置。
  • y（yank）用于复制，后面跟着表示范围的字符。普通模式下光标在某一个单词上的时候输入 yaw（yank all word），就可以复制一整个单词，然后 p（paste）粘贴。也可以 y4j，会复制当前行在内的下 \(4\) 行（一共 \(5\) 行）内容。之所以不用 copy 是因为将 c 留给了下面说的 change。yy 复制当前行内容。
  • d（delete）删除内容，例如 d8j 删除了下 \(8\) 行的内容，dfr 删除了到下一个 r 为止的内容。dd 删除一整行的内容。D 或者 d$，删除当前字符到行尾的所有内容。
  • u（undo）撤销上一个操作。R（redo）在 vscode 上叫做重做，也就是撤销的撤销。
  • 0 移动到行首；$ 移动到行尾。
  • v（Visual）进入到可视模式，这个模式就是可以选中多个字符然后可以复制粘贴，没有特别的地方。

• 在编辑模式中，输入字符就是直接在代码中输入字符，但是有一些进入、退出编辑模式的快捷键，有 iacoIAO 这几个键。普通模式下光标指向一个字母，而编辑模式下光标指向两个字母之间的间隔。

  • i （insert）在当前光标之前的间隔开始进入编辑模式。可以联想 list 在 insert 的时候会插入到当前 iterator 前面这个奇怪的特性。
  • a （append）在当前光标之后的间隔开始进入编辑模式。
  • I 从当前行开头进入编辑模式。
  • A 从当前行末尾进入编辑模式。
  • c（change）字面意义是修改内容，实际上就是删除当前的内容然后进入插入模式。例如 caw 会删掉目前的单词之后进入编辑模式。cc 会直接删除整行并进入编辑模式。c4j 会删除下 \(4\) 行同时进入编辑模式。
  • o 在当前行之后插入一行，并进入编辑模式。
  • O 在当前行之前插入一行，并进入编辑模式。

  因此例如你想要在行末进入编辑模式的话，可以有 $a、o退格、A 三种按键组合。

• 在命令模式中，命令以 : 开始。

  • :q（quit）：退出 vim；:q!：强制退出并不保存修改。

  • 要保存该文件，:w（write）。保存并退出：:wq。另外 ZZ 和 :x 也是保存并退出。

杂项

• linux 中文件的权限：用 10 个字符表示，第 \(2 \sim 10\) 个字符是有意义的，它们分为三组三个字符，前三个是所有者的权限，中间三个是与所有者在同一组的用户的权限，后三个是其他用户的权限。

  例如：-rw-r--r--；-rw-r--r--；-rwx------。

  每一组的三个字符，如果有对应权限该字符分别是 rwx，没有则是 -。r 表示 Read，也即拥有读取内容的权限。w 表示 Write，也即拥有写入内容的权限。x 表示 Execute，也即拥有执行该文件的权限。

  对于目录来说，这三种权限的意义分别是：有浏览目录的权限；有删除、移动目录内文件的权限；有进入目录的权限。

  如果“例如”中的三个都是文件权限的话，只有第三个是可以执行的文件。

• linux 终端的快捷键：

  • ctrl + c：可以强制终端正在运行的程序。
  • ctrl + l：可以清空屏幕内容。
  • 在 linux 的各个虚拟终端之间切换的快捷键是 Ctrl + Alt + Fn，也就是左下角同一行的那三个键（没有 Shift）。
  • 从虚拟终端切换到桌面环境的快捷键是 Alt + F2。

• linux 中区分文件和目录的大小写，例如目录 EAR 和目录 Ear 被认为是不同的目录。

• linux 中拥有最高权限的用户是 root。

• 当前目录下有一个编译好的可执行文件 a.out，执行它使用的命令是 ./a.out。

• 要从某一个程序读入/要输出到某一个程序，使用 < 和 > 连接，但是其符号和 cin 相反，例如 cin >> x; 是读入，但是 ./prog_1 > 1.out 是要将程序输出结果保存到 1.out 的意思。

• linux 中可以调试程序的程序是 gdb。

• 在 linux 系统中，文件夹中的文件可以与该文件夹同名。

• shell 是一类程序的统称，只要这个程序能够按照用户的需求去调用操作系统就是 shell。NOI Linux 中默认使用的 shell 是 bash。

• linux 中使用 time 命令计算一个程序运行时间，其输出的是三个时间：real, user, sys。

  • real = cpu 用时 + 其他因素时间
  • cpu 用时 = user + sys
  • real > user + sys（单核情况下）。real 表示的是实际经过的时间，所以如果拿秒表和 time 一起对某个程序在单核 CPU 上的运行时间计时，那么秒表测的时间最接近 real 的时间。

2. 竞赛纪律

1. 带入考场物品规定：参加者仅可以携带笔、饮用水和食品进入赛场，不得把手机、优盘等电子设备、书包、书籍、纸等带入赛场，如发现违规，不管是否使用，均按作弊处理。

2. 考试前后：在考试正式开始前，参加者不得操作机器、使用鼠标键盘等设备。考试结束铃声响后，参加者立即停止答题，不关闭计算机，按照监考员的要求离开考场。

3. 考试期间：不得提前交卷，考试结束后不得带走答卷和试卷。如需去洗手间、身体不适或其他帮助，参加者须举手示意。

4. 作弊及处罚：凡在考试期间有抄袭、主动被抄袭、暗示、传递纸条、通信、夹带、替考等行为者，均按作弊处理。如被抄袭者知情但不报告，也同样以作弊处理。作弊者被禁赛三年，并全国通报。

5. 监督和举报：如发现有违规行为，现场可向监考员举报，赛后可向 CCF 实名投诉（noi@ccf.org.cn）。

6. 突发情况：考试期间如遇到特殊情况或突发事件，务必听从监考员指挥。

3. 计算机常识和 NOI 历史

• 一个完整的计算机系统包括硬件系统和软件系统。
• 目前微型计算机中采用的逻辑组件是大规模和超大规模集成电路。
• 软件和程序的区别是：软件是程序以及开发、使用和维护所需要的所有文档的总称，而程序是软件的一部分。
• IT 表示信息技术。
• 计算机中央处理器的简称为 CPU。
• 计算机内存的一般作用是存放当前正在运行或使用的程序和数据。
• 今年是 CCF-NOI 第 \(5\) 次举办 CSP-J/S 计算机非专业级别软件能力认证。
• ASCII 的含义是美国信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange）。一个 ASCII 码只需要 \(1\) 个字节就可以存放。
  • 可显示字符的范围是 \(32 \sim 126\)。
  • \(32\) 是空格。
  • \(48 \sim 57\) 是阿拉伯数字。
  • \(65 \sim 90\) 是大写字母。
  • \(97 \sim 122\) 是小写字母。
• RAM 是随机存取存储器（Random Access Memory），ROM 是只读存储器（Read-Only Memory）。RAM 在断电后数据会变化，ROM 在断电后数据不会变化。
• LAN 是局域网（Local Area Network），WAN 是广域网（Wide Area Network），WLAN 是无线局域网（Wireless Local Area Network），其 W 不表示 Wide 而表示 Wireless。
• 计算机直接识别和执行的语言是机器语言。使用高级语言编写的程序称为源程序。
• NOI 的中文含义是全国青少年信息学奥林匹克竞赛。

4. 排序算法

• 一般考的排序算法有八大排序算法，首先按照是否依赖比较进行排序分为两类。

• 排序的稳定性就是两个值相等的元素是否在最后不会交换顺序。

  其实如果你拿 \((值, 位置)\) 二元组去排序，那么所有排序算法肯定都是稳定的，这里说的是如果在比较过程中不特意去选择位置较前的数据（可以感性理解一下，要使得它稳定的话，花费的代价是否非常不大，例如你只需要让算法的某一个细节是你钦定的那样，那就是稳定的。其实是否稳定对应的是一个具体算法，而一般一个算法名称对应了很多种实现细节，你只需要根据教科书的分类方式钦定一种实现细节记下来就好了 /cf）的话是否还能保持顺序。

• 非比较排序算法一般有计数排序和基数排序，都是稳定的。

  计数排序是使用一个额外的计数数组 \(C\)，根据数组 \(C\) 将原数组 \(A\) 中的元素放到正确的位置。其算法流程是：

  • 统计 \(A\) 中每一个元素的出现次数。
  • 给出现次数做前缀和。
  • 反向填充目标数组 \(B\)，将 \(A_i\) 放到 \(B\) 中的第 \(C_{A_i}\) 位，然后将 \(C_{A_i}\) 递减。

  所以区分计数排序和桶排序的时候，只要看到有对 \(C\) 做前缀和的就一定是计数排序。如果是直接统计出现次数然后用一个 cnt 扫一遍过去的，那才是桶排序。

  基数排序（Radix Sort）就是将数据分割出一些独立的位，使得高位比较出的大小完全覆盖低位比较出的大小，然后对每一位做计数排序。怎么分位其实没有那么死板，比如你要对一个 \(10^9\) 之内的数据排序，你完全可以直接分成 \(x \times 10^5 + y\)。重要的是数据可以分割出独立的位。所以不是什么数据都可以基数排序的。

• 比较排序算法中，要掌握的有冒泡、插入、归并、快速、堆排、选择。前三个是稳定的、后三个是不稳定的。

  冒泡排序的过程是第 \(i\) 轮让第 \(i\) 小的元素自动浮到最后去。只要你钦定在 \(a= b\) 的时候不发生交换，那么显然是稳定的，时间复杂度 \(O(n^2)\)，最好情况 \(O(n)\)（带上检查那一步）。

  插入排序的过程经常用理牌来比喻。考虑目前的一个有序序列里加入一个数，你只需从后往前去检查直到有一个数 $\le $ 它了，插到这个数后面就好了。知道算法流程之后显然知道是稳定的，因为你只会插入在第一个大于它的数前面。时间复杂度也是 \(O(n^2)\) 的，因为插入一个逆序序列就是 \(O(n^2)\) 的。最好情况也是 \(O(n)\) 的，插入顺序序列就是。

  归并排序也是比较熟知且广泛运用的算法了，只要你钦定前后在队首的数据一样大的时候选择前面的，就可以做到稳定，因此它也是稳定排序。时间复杂度是严格 \(O(n \log n)\) 的。因为你必须每层都扫满 \(n\) 个数，必须做 \(O(\log n)\) 层。（这里就不考虑什么先检查一遍范围内是否有序的逃课方式了）

  快速排序是一种平均情况下 \(O(n \log n)\) 并且平均情况下能够跑得比其他 \(O(n \log n)\) 算法快的排序算法，所以 sort 内部实现的是一种基于快速排序的算法。该排序方法采用分治策略，第 \(i\) 轮找到第 \(\cfrac{mid}{2}\) 位上的数作为基变量，然后按照“某个数 \(<\) 和 \(\ge\)”的判断将其分为两边，然后递归下去。在这种实现细节下，就是一个不稳定的排序算法，因为如果你选择了一段相同的数的中间一个作为基变量，那么所有等于它的（不管原来在它左边还是右边）都会分到右边去。

  堆排序就是直接使用堆这个数据结构，插入弹出。插入的时候每一个元素的下标已经被打的很乱了，它是不稳定的，时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

  选择排序就是每一次把 \(a_{i + 1} \sim a_n\) 中的 \(\min\) 跟 \(a_i\) 交换一下，你可以在取 \(\max\) 的时候，钦定交换第一个（和冒泡排序一个策略），但是你会把 \(a_i\) 换到后面去，这样就铁定是不稳定的了。时间复杂度也是 \(O(n^2)\)，每一轮要找一次 \(\min\)。

5. 指针的运用

• “存储器”的概念。文件柜 $\rightarrow $ 文件柜上的抽屉 $\rightarrow $ 抽屉上的编号，对应 存储器（例如内存） $\rightarrow $ 存储单元（例如整型变量，也就是存储整数的单元） $\rightarrow $ 存储单元的地址（例如指向变量的指针）

• 关于指针，有两个运算符号：& 和 *。而 int *b; 中的 * 是声明 \(b\) 是一个指针变量用的，和运算符号 * 不是同一个东西。& 一般被称为“取地址”运算。而 * 可以看成 & 的逆运算。

• 在一个内存条中，有一个整型变量 \(a = 5\)，放 \(a\) 的地方假设叫做 \(\mathtt{0x123}\)，那么 &a 就等于 \(\mathtt{0x123}\)。我们可以 int *b; 定义一个指针 \(b\)。这个指针 \(b\) 在内存条中也有一个相应的存放位置，姑且称 \(\mathtt{0x234}\)。那么我们可以（这里认为下面若干行是递进关系，前面的操作对后面有影响）：

  • b = &a; 就是将 \(b\) 赋值为 \(a\) 的地址也即 \(\mathtt{0x123}\)。
  • cout << b; 会输出 \(\mathtt{0x123}\)。cout << (*b); 会输出 \(a\) 的值 \(5\)。
  • cout << (&a); 会输出 \(\mathtt{0x123}\)。cout << (&b); 会输出 \(\mathtt{0x234}\)。
  • 于是你还可以套娃，定义 c = &b，等等，因为指针它也是数据，也有存放的地方。

• 对于一个数组 \(arr\)，直接输出 arr 其实和 & (arr[0]) 的结果是一样的，也就是数组名等于首元素地址。同理 arr + 3 也就是 & (arr[3])。

  • int a[] = {5, 4, 3, 2, 1}; 
    auto p = a + 3; 
    auto q = &p; 
    (*q) ++; 
    auto k = *p; 
    

    观察这份代码，\(*q\) 也就是 \(p\)，\(*q\) 加 \(1\) 对应的是 \(p\) 从 \(a+ 3\) 变成了 \(a+4\)，那么 \(*p\) 就是 \(a\) 数组的下标为 \(4\) 元素 \(1\) 了。

6. 数据的存储与计算

• 音频的数据量是由采样率 $\times $ 位深 \(\times\) 时长 \(\times\) 通道数计算的，其中采样率指的是每秒钟采多少个样，单位为 Hz（也就是次/秒）。位深指的是每一个采样点的位数，单位为 bit（位）。通道数就是要做多少个同时播放的音频。那么一段采样率为 44.1kHz，位深为 16 位，时长为 60 秒的双通道音频文件大小就是 $44100 \times 16 \times 60 \times 2 $ Bit。

  如果有问数据率，数据率 $= $ 数据量 $\div $ 时间。

• 图像的数据量是由分辨率 $\times $ 位深计算的，其中分辨率就是图片长、宽的大小，位深则是一格有多少位。那么一个分辨率为 \(800 \times 600\)，\(16\) 位的位图，它的大小就是 \(800 \times 600 \times 16\) Bit。

• 视频的数据量可以看做图像的数据量乘以图像的个数，等于帧率 \(\times\) 视频长度 $\times $ 图像数据量。帧率就是每一秒有多少帧，单位为 fps，也即 frames per second。24fps 也就是一秒钟有 24 帧的意思。

  如果是有声音的视频文件可能还需要加上音频文件的大小。

  如果给的是“音频码率、视频码率”，那么码率就是上面说的数据率，按照 (音频码率 + 视频码率) \(\times\) 时长计算。

• 一些常用的文件扩展名：

  • 图片：gif, jpg, png
  • 视频：wmv, mov, mp4
  • 音频：wav, mp3
  • 文档：txt, doc, pdf...
  • 压缩文件：jar, zip, rar, 7z
  • 源代码：c, cpp, js, java

  其中对于 wav, wmv 的 w 都是 windows，是微软开发的。m 是 media（媒体的意思），而 a 是 audio（音频的意思）。

7. 语言的类型

• 语言的基本分类：机器语言 \(\rightarrow\) 汇编语言 $\rightarrow $ 高级语言。

  机器语言编程的程序称为目标程序。

  一般有名字的例如 BASIC 等都是高级语言。

• 高级语言按翻译时间不同分为编译型语言和解释型语言，编译型语言是先翻译成可执行文件，之后每次执行只需要找可执行文件即可；解释型语言是边解释边执行。

  编译型语言有 C, C++, Go, Fortran, Delphi, Pascal, 汇编等。

  解释型语言有 Python, Java, Javascript, Perl, Ruby 等。

• 高级语言按数据类型是否重要分为强类型语言和弱类型语言。

  强类型语言有 C, C++, Go, Java, C#, python 等。

  弱类型语言有 Rust, PHP, Javascript 等。

8. 哈夫曼编码

• 哈夫曼树的构造我们都知道是每次选择两个较小的叶子合并，这是因为一般要求的是编码为二进制。
• 建出哈夫曼树之后我们按照 trie 树的记号法则从上到下进行标号即可（而不是其他的什么方法）。我们的一个要求是不允许存在一个东西的编码是另一个的前缀。注意到我们要编码的所有东西在哈夫曼树上都是叶子，所以这种编码方式满足这个要求。

9. 一些分了八类还不能归类的小猫咪

• 取模：a % b 的定义就是 a - b * (a / b)。

• 一些基本的变量类型大小：char 1, short 2, int 4, long long 8, float 4, double 8, long double 16, void*（万能指针）8。

• 联合体：多个数据需要共享内存，每次只取其一生效的时候，使用联合体，节省内存和空间。

  联合体的内存怎么算：要满足两个条件，一是大小大于等于占用字节最大的元素，二是必须能被其包含的所有基本类型的大小所整除。

  例如：

  union Mao {
      int n; //4 Bytes
      char s[11]; //1 Bytes * 11 
      double d; //8 Bytes
  };
  

  最大元素大小为 \(11\)，需要被 \(1, 4, 8\) 整除，因此内存为 \(16\)。

• 结构体的内存怎么算：这个东西就不简单了，它是依靠对齐来算的。简单来说，从前往后，某一个变量占 \(k\) 字节，那么它会选择大于目前被占用最后一个位置的且是 \(k\) 的倍数的这一位存储。

  举个例子：

  struct Niang {
      char a; //1 Bytes
      int b; //4 Bytes
      short c; //2 Bytes
  }; 
  

  \(a\) 会选择 \(0\) 号内存存下（\(0 \sim 0\)）。\(b\) 会选择 \(\ge 1\) 的被 \(4\) 整除的最小的 \(4\) 号内存存下（\(4 \sim 7\)），\(c\) 会选择 \(8 \sim 9\)，因此 Niang 的 size 为 \(10\)。

  如果改成：

  struct Niang {
      char a; 
      short c; 
      int b; 
  };
  

  \(a\) 会选择 \(0 \sim 0\)，\(c\) 会选择 \(2 \sim 3\)，\(b\) 会选择 \(4 \sim 7\)，可见这样的话会改变 Niang 的 size 变成 \(8\)。

• enum 是枚举类型，内存是 \(4\) 字节。

• 前中后缀表达式都可以直接转换为二叉树去做。

  中缀表达式就直接不断找最顶端的运算符然后分到两边去递归做就好了。

  后缀表达式就考虑从前到后，遇到一个数字就往栈里面弹，遇到一个运算符就把栈顶两个东西弹出来运算就好了。

  前缀表达式就也是从前往后，遇到运算符就往栈里面弹，遇到数字也弹，但是如果栈顶两个数字你就可以把它和前面一个运算符结合掉。

• 给定两种遍历得到的序列找另一个。如果给了中序遍历的话，那另外一个的第一个/最后一个数一定是根，找到在中序遍历中的位置然后递归下去即可。

  如果给的是前序和后序遍历，则无法唯一确定一棵二叉树。

CSP 2023 J/S1, RP++！