DP 概论

对于一个题目，我们有暴力搜索算法。而 dp 就是尽可能将同一类的东西合并到一个状态上。

如何检查 dp 的正确性？

1. 检查集合内部转移是否一致。
2. 检查方案数是否正确。

1 基础 dp 方向

1.1 状压 dp

有好几种状态压缩的方式：

1. 记录“选了哪些东西”这样的信息，可以用一个长度为 $n$ 的 01 串，对应一个十进制数。
2. 记录可重无序集合：如果不关心顺序，只关心它们分别出现了多少值，可以记录无序集合，如果集合内的数字之和保证小于等于某一个数 $S$，那么状态的个数小于 $S$ 的分拆数，大概 $53$ 以下的分拆数能过。
3. 网格图，考虑一行一行转移，然后要记录 $1 \sim i$ 行的信息，比如黑色格子组成的连通块，使用最小表示法：考虑同一个连通块上所有点用一个数字来表示，但是从左到右数字第一个出现的位置符合升序。这样就可以一格一格转移。
4. 插头 dp：高进制状压。可以自己定义的东西。

其实相当于哈希了。状态给他搞成一个方便处理的数字或者数组。

1.2 树形 dp

换根 dp：先求出子树内的所有点到自己的影响，然后求出子树外的所有点到自己的影响，先从下往上做，然后从上往下做。

树形背包：背包大小为 $m$ 的树形背包，复杂度为 $O(nm)$。

拓扑序相关：

如果带修：结合树剖线段树等算法一起做，用矩阵。

1.3 区间 dp

什么时候会想到区间 dp：所有操作区间在原序列中要么无交要么包含的情况。例如石子合并问题，操作的区间（相对于原序列）要么无交要么包含。

再例如从一些区间内找出最多的区间使其无交或包含，也可以区间 dp。

1.4 数位 dp

如果考虑进位的，从低到高来；考虑比较大小的，从高到低来（比如某一个区间，那么考虑是否和原数前面几个数都一样），需要记录的记录一下就好了。

1.5 自动机上 dp

AC 自动机上可以 dp。但是我们现在说的是自己建立自动机的 dp：三步骤：考虑我们的状态，将每个可行状态当成一个节点，然后搜索出转移，最后直接跑 dp。算出的是精确状态数，可能可以缩小一些状态数。

这个做法是建立了一个自动机，因为自动机其实是基于 dp 建立的所以我们叫它 dp 套 dp。

一般用来解决这样的问题：

1. 如果给定一个字符串，可以使用 dp 判断它是否合法。
2. 需要求每个位置在许多字符中任取的时候有多少合法的串。

我们的方法是：直接对记录状态的那个 dp 数组进行压缩，然后根据内层 dp 的转移，建立一个自动机，然后在这个自动机上跑 dp。

QOJ1251. Even Rain

这题目，我设计状态的时候，考虑钦定目前 dp 的位置是前缀 max，然后状态 $O(nk)$，转移 $O(k^2)$ 并且很复杂；可以将前缀 max 的位置放进状态，然后 $O(1)$ 转移。

给我的一个教训是：如果某一个状态，要么要加入进状态里面，要么要 dp 它，都是躲不开的，那么考虑加入进状态可能会比 dp 它少判断很多东西，并且更优。

HDU2484

这题是一个树形期望 dp，对每一个 $\min$ 和 $sum$ 相同的元素，其 $fa$ 的 dp 值可能不一样，但是其 $a, b$ 值是一样的，我们就可以记忆化搜索，只需要 $n^2$ 种状态而不是 $2^n$ 种。

为了优化 dp 的复杂度，需要找等价的 dp 状态。为了找等价的 dp 状态，考虑 dp 的转移具体和什么有关，有没有办法从状态里去掉不需要的东西。例如此题，虽然往回的状态需要整个 mask，但转移的系数只和后面的和有关。

2 基础 dp 优化

2.1 单调队列优化

考虑这样的 dp 式子：
$f_i$ 是最大的 $j\le i$ 满足 $s_i > t_j$，其中 $t_j = s_{j-1} \times 2 - s_{f_{j-1}-1}$，$s$ 单调递增。
转移的时候，首先注意到如果一个数比你大而且 $t$ 还比你小，那么你就没了。其次由于 $s$ 单调递增，可以不断从前面 pop 元素，直到如果该元素 pop 了下一个元素就大于 $s_i$ 了。
这样就从 $O(n \log n)$ 转移变成了 $O(n)$ 转移。

2.2 整体转移

QOJ 1586. Ternary String Counting

一个只包含 $\mathrm{0,1,2}$ 的长度为 $n$ 的序列，有 $m$ 个限制形如第 $l_i$ 到 $r_i$ 位中有 $x_i$ 种数。求符合限制这样的序列的个数。

$1 \le \sum n \le 5000, 0 \le \sum m \le 10^6$

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$dp_{i, j, k}$ 表示填到第 $i$ 个数，前面第一个跟它不一样的位置在 $j$，第二个不一样的位置在 $k$ 的方案数。

有 $O(n^3)$ 状态，$O(n^3)$ 做完整个 dp 的算法：

$j=i-1$ 的时候考虑什么时候第一次出现了 $1$。可以从 $dp_{j,t,k}$ 转移，$t \in [k+1,j-1]$，或者从 $dp_{j,k,t}$ 转移，$t\in [1,k-1]$。

$j \neq i-1$ 的时候只能从 $dp_{i-1,j,k}$ 转移。

但是这个 pull 形式很难做整体转移优化。考虑做 push。

$(i,j,k) \rightarrow (i+1,j,k),(i+1,i,k),(i+1,i,j)$

发现这个形式挺好的，自然考虑令 $DP_i$ 表示 $dp_{i,*,*}$ 矩阵。

考虑从 $DP_i$ 转移到 $DP_{i+1}$。发现第一种转移是不改变，第二种转移是一个行求和，第三种转移是一个列求和，并且每一个位置最多被填一次。

考虑挂在 $i$ 上的限制的作用。就是将 $DP_i$ 只保留一个矩形区域。

那么你可以维护每一行每一列的和，并且加点的时候给其所在行和列都标记上这个点有值；删点的时候从两边往中间删，直到删到矩形区域内。

每一个点最多被加一次删一次，所以时间复杂度 $O(n^2)$。

关于一些零碎，例如初值怎么设置，都可以尽量朝着兼容方向想，并不是思考的关键。

其实对于这类整体转移问题一般都是用 push，因为这样可以描述为一个矩阵的变换，比较好进行优化。