manacher

简介

求出字符串的所有回文子串。

算法思想和流程

我们想找到每一个字符 $i$ 作为回文中心的时候，最长回文串的半径 $r_i$ 是什么。那么以 $i$ 为中心，$[0, r_i]$ 为半径，都是回文子串，$(r_i, +\inf)$ 为半径，都不是。考虑暴力算法对于每一个中心向外探测，时间复杂度 $O(n^2)$。

考虑之前的信息对求解问题的作用。在 KMP 算法中，我们额外维护了一个跳转指针，使得复杂度在优化下产生了质变。在 manacher 算法中，利用之前求出的回文串，考虑目前这个字符在之前回文串中的相反位置上的对应字符，这两个字符在回文串内具有相似的性质，对其加以利用，使得探测的字符个数大幅度变少。

维护一个指针 $r$，表示之前所探测到的回文串的最右边端点是什么。对于目前回文中心 $i$：

• 如果 $i > r$，那么从 $i$ 开始探测。
• 否则找到 $i$ 的对应点，找到其为中心的最长回文子串，和大回文串边界求 $\max$，这个点要么 $=r$，要么探测一步就会不匹配。从这个点往外探测。

容易发现一次探测使得 $r$ 前进 $1$ 步以上，因此时间复杂度 $O(n)$。