贪心
1 调整法证明贪心
考虑证明某一种方案是最优策略的时候，这样证明：对于解集合里的其他所有解，都存在一种调整使得其变得更优，说明其他解都不是最优解。这里来看两个例子：
1.1 最小生成树的内核和证明
首先感性去看一下这个问题。一棵生成树的核心是把一些点联合在一起。我们会想到，对于一个集合，与其他点连接起来的时候，是不是去使用一条边权最短的向外连边会最优秀呢？其实是这样的，而这就是 Boruvka 算法在干的事情。而我们审视一下 Kruskal 在干的事情，其实是 Boruvka 的另一种表达方式：当前时刻一条集合之间的最短连边，不就是我们的 Boruvka 要找的吗！
所以这两种算法是统一的。对于它们之间的关系，我更倾向于是类似四边形不等式中二元形式和四元形式的区别：四元形式是最本质的东西，二元形式是换一种表达方式，但是其更可以证明，也更可以启发出一些性质。Kruskal 因为重新表达了 Boruvka，生成了一个以一条边为单位分层的算法，所以性质更好，更好证明。
oi-wiki 上有一个证明，我认为其实并没有从本质出发去证明它，这里介绍另一种证明方法，运用了开头所说的这个思想，其和 oi-wiki 上的证明是本质相同的，但是使用了贪心的巧妙策略，其思路是可复现的：
考虑一种生成树方案 \(T\)。考虑其第一个和 Kruskal 找到的生成树 \(\mathcal T\) 不一样的边。\(\mathcal T\) 中这一步本该连接的 \(i\) 和 \(j\) 我们暂时不连，之后有一条边将 \(i\) 和 \(j\) 所在的集合连通（这是良定义的，如同树上背包一样是可以考虑两个点什么时候连通的）。那么交换这两条边，其他边都不进行改变，会变得更优。于是这种方案并非是最好的。
1.2 树上全序问题的贪心策略证明
usaco 2023 Feb 金组 T2
【题意】FJ 有一颗树，每个节点初始都有一个草苗高 \(0\) 厘米，每一秒会长 \(a_i\) 厘米草。FJ 一开始在根节点，走一条边的时间是一秒，第一次走到某个节点的时候，花费该节点草高的代价，拔起这根草，这个节点之后不会再长草。FJ 要拔掉所有草，问：
- 如果必须返回根节点，那么最小代价是？
- 如果必须走到某一个深度最深的节点，那么最小代价是？
【分析】
首先我们大概看看发现是需要给儿子排个序然后依次经过。
然后我们首先分析一下第一问的情况下按照什么排序。如果一棵树从 \(0\) 时刻开始进入，有若干个节点按走的顺序标号 \(son_1, son_2, ..., son_k\)，那么其时间为 \(\sum \limits_{i = 1} ^ k (\sum \limits_{j \in subtree_i} a_j \times \sum \limits_{j = 1}^{i - 1} size_{son_j} \times 2) + dp_{i}\)，其中 \(dp_{son_i}\) 表示的是 \(0\) 时刻进入 \(son_i\) 需要花多少时间采完。
考虑怎么把贡献拆到每个儿子手上。这里证明对于某一个特定满足邻项交换不优性质的顺序，如果数组不是按照这个排序，那么一定有逆序对，那么一定有相邻逆序对，那么交换这个对一定不会劣。于是这个数组不优，因此只有按照这个顺序排序后数组是最优的。
那么邻项交换不优性质看看有没有。这比较容易，因为前和后贡献没有改变，而对于两个儿子 \(i, j\)，其自己的贡献是：如果 \(i\) 在前 \(dp_i + sum_j \times size_{i} \times 2 + dp_j\)，否则 \(dp_j + sum_i \times size_{j} \times 2 + dp_i\)，其中 \(sum_i\) 表示子树 \(a_i\) 和。
那么显然前面大于后面的条件就是 \(\cfrac{size_{i}}{sum_i} < \cfrac{size_{j}}{sum_j}\)，这可以写成 cmp。
于是有了这个性质，加上加粗理论，我们得到了一个正确的排序方法。可以说没有加粗理论，根本没有做出这类树的全序题的可能。至于第二问，不在讨论范围内，先不管了。
ABC304Ex. Constrained Topological Sort
给定一张有向图，求一个拓扑序，使得对于每一个 \(i\) 都有 \(l_i \le rnk_i \le r_i\) 成立。
\(n \le 2 \times 10^5, m \le 4 \times 10^5\)
考虑将限制变得真实：对于 \(i \rightarrow j\)，令 \(r_i \min = r_j - 1,l_j \max = l_i + 1\)。然后每一次将可以选择的点（\(l_i\) 到了时间并且所有父亲都已经选了）放到 pq 里，选 \(r_i\) 最小的那个点，就是最优方案。
感性理解挺对的，因为儿子因为父亲没选被拖累了这种事不是不得已不会发生。
理性证明不会。
2 反悔贪心
遇到一个问题：有 \(n\) 个位置，一个位置上可能有 \((, )\) 或者两者可以选一个的 \(?\)。求最大括号匹配。
这个问题可以反悔贪心，维护两个集合，分别维护可以匹配的左端点，以及目前做了 \()\) 的通配符，对于一个 \((\)，直接加入第一个集合；对于一个 \()\)，考虑第一个集合是否非空，如果是就匹配，否则考虑第二个集合是否有元素，如果有，令其成为 \((\)，并且当前这个括号和原来这个通配符所匹配的元素匹配。对于一个 \(?\)，首先判断是否可以成为 \()\)，如果可以的话要注意加入第二个集合；否则加入第一个集合。
证明什么，感觉就是，感受那股劲！（xhz 名言：它显然每一步都最优，所以就是对的！）
