函数性质与决策单调性

一些函数性质：

一次函数：最大值和最小值在 \(x\) 的最大值或最小值取到。

（引申）反比例函数：最大值和最小值在 \(\cfrac{1}{x}\) 的最大值或最小值取到。

奇/偶函数：对称性。

单峰/单谷函数：可三分性。

凸函数：可以二分斜率。（上凸函数斜率单减，峰值处斜率是 \(0\)）函数在某点处的斜率等于 \(f'(x)\)。

这些性质可以帮我们简化一些函数结构的查找。例如找最优决策的时候提前放弃无用决策等等。

ARC158B

给定一个没有零元素的数组 \(a\)，求 \(\max \limits_{i <j<k} \cfrac{a_i+a_j+a_k}{a_ia_ja_k}\)。

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首先要会化齐次项，化为 \(\cfrac{1}{a_ia_j} + \cfrac{1}{a_ja_k} +\cfrac{1}{a_ia_k}\)。然后考虑令 \(x \leftarrow \cfrac{1}{x}\)，变成最大化 \(a_ia_j + a_ja_k + a_ia_k\)。若我们固定 \(a_i\) 和 \(a_j\)，那么对于 \(a_k\)，事实上只可能取最大/最小值，因为是一个关于 \(a_k\) 的一次函数。

所以只需要找到 \(\cfrac{1}{x}\) 最大最小的三个元素即可啦！