多项式相关

多项式，就是提供了一个代数手段解决问题。——rsy

1 多项式的次数

1.1 差分法

考虑一个数列 \(\{a_n\}\)。其是一个关于 \(n\) 的 \(v\) 次多项式。

对数列做 \(d\) 阶差分之后变成一个非零常数数列（所有 \(a_i\) 都是一个固定的非零常数）等价于多项式的次数为 \(d\)。

证明：

考虑 \(a_n = \sum \limits_{i = 1}^v w_i n^i\)。
那么 $a_n - a_{n-1} $ 的 \(v\) 次项相减是这样的：

\[w_vn^v - w_v(n-1)^v \]

注意到 \(n^v\) 系数清零。因此多项式降低一次。

归纳即可。

（对于 \(n\) 你发现可以代入一些数字，但是其是多项式主元，而常数和 \(n\) 无关的就不在次数里了）

CF622F The Sum of the k-th Powers

【题意】
求 \(\sum \limits_{i = 1}^n i^k\)。

\(n \le 10^9, k \le 10^6\)。

【分析】

为什么这个式子是 \(k+1\) 次多项式？
考虑 \(a_1 = 1^k, a_2 = 1^k + 2^k ...\)
差分一次之后变成 \(1^k, 2^k, ..., n^k\) 显然为 \(k\) 次多项式。
证完了。

然后就可以插值。计算 \(i^k\) 可以线性筛，因为它是完全积性函数。

时间复杂度 \(O(k)\)。

CF1817C Similar Polynomials

【题意】
给定两个多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，其中 \(g(x) = f(x + t)\)。给定多项式的次数 \(d\) 以及 \(0 \sim d\) 处的点值，求 \(t\)。

【分析】
考虑 \(d-1\) 次差分之后会变成一个一次函数（等差数列）。\(\Delta^{d-1} f\) 放到坐标轴上，往左平移 \(t\) 个单位，就是 \(\Delta^{d-1} g\) 了。

代数形式是：\(ax + b \rightarrow a(x+t)+b\)，\(x\) 固定的情况下差值为 \(at\)，于是除以 \(a\)（斜率）即可。

你如果换成别的次数（大于 \(0\)）也能算，但是解的就是高次方程了。

\(d-1\) 阶差分怎么做：

\[\begin{matrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ & a_1-a_0 & a_2-a_1 & a_3-a_2 & a_4-a_3 \\ & & a_2-2a_1+a_0 & a_3-2a_2+a_1 & a_4-2a_3+a_2 \\ & & & a_3-3a_2+3a_1-a_0 &a_4-3a_3+3a_2-a_1 \end{matrix} \]

也即 \(\Delta^d f_i = \sum \limits_{j = 0}^d a_{i-j} \times \dbinom{d}{j} \times (-1)^{i-j}\)。

斜率是什么？\(\Delta^{d-1} f_d - \Delta^{d-1} f_{d-1}\)。

CF1832E Combinatorics Problem

【题意】
给定 \(n, k\) 和数组 \(a_1, ..., a_n\)，求出 \(\{b_n\}\) 使得：

\[b_i = \sum \limits_{j = 1}^i \dbinom{j}{k}a_{i-j+1} \bmod 998244353 \]

\(1 \le n \le 10^7, 1 \le k \le 5\)
【分析】
我们列出每一项的展开形式：

\[\begin{array}{l} b_1 = \dbinom{1}{k}a_1 \\ b_2 = \dbinom{2}{k}a_1 + \dbinom{1}{k}a_2 \\ b_3 = \dbinom{3}{k}a_1 + \dbinom{2}{k}a_2 + \dbinom{1}{k}a_3 \\ ... \end{array} \]

对于多项式 \(f_n = \dbinom{n}{k}\)，其是一个 \(k\) 次多项式，因为它等于 \(\cfrac{n_{[k]}}{k!}\)。

那么我们如果对数列 \(b_1, b_2, ...\) 做 \(k\) 阶差分会变成常数。打表不难发现常数为 \(1\)。

于是我们构造：

\[\begin{array}{l} c_1 = a_1 \\ c_2 = a_1 + a_2 \\ c_3 = a_1 + a_2 + a_3 \\ ... \end{array} \]

再对 \(c\) 数组做 \(k\) 阶差分即可。时间复杂度 \(O(nk)\)。

另解：
考虑 \(\dbinom{i}{j}= \dbinom{i-1}{j-1} + \dbinom{i-1}{j}\)，那么如果令 \(B_{i,j}\) 表示 \(k=j\) 的时候 \(b_i\) 是多少，那么 \(B_{i,j} = B_{i-1,j-1} + B_{i-1,j} + \dbinom{1}{j}a_i\)。可以递推得到，时间复杂度也是 \(O(nk)\)。