NP 理论

算法导论，第 34 章。
P：Polynomial Problem，指的是确定可以在多项式时间内解出的问题。

NP：Non-Deterministic Polynomial Problem，非确定性多项式问题。指的是其解的正确性可以再多项式时间内被检查的问题。（能被检查说明什么呢？我们可以找到所有可能解的集合然后验证它们。）

NP-Complete：一类特殊的 NP 问题，特殊之处在于所有 NP 问题都可以多项式归约到 NP-Complete 问题上。

NP-Hard 问题，所有 NP 问题都可以多项式归约到 NP-Complete 问题上。但是不一定是 NP 问题。

什么是归约（Reduction）：对于问题（看成函数）$A$ 和问题 $B$，考虑它们可能解的集合 $P_A$ 和 $P_B$ 和它们解的集合 $Q_A$ 和 $Q_B$（显然 $Q_A \subseteq P_A$ 且 $Q_B \subseteq P_B$）。如果存在一个多项式时间算法映射 $f: P_A \rightarrow P_B$ 使得可能解 $i \in Q_A$ 当且仅当 $f(i) \in Q_B$（也就是说，如果存在 $x \in Q_A$，则 $f(x) \in Q_B$；如果存在 $x \in \complement_{P_A}Q_A$，则 $f(x) \not \in Q_B$），那么如果求出了 $Q_A$ ，那么可以求出 $Q_B$；如果知道是否存在 $f(x) \in Q_B$，那么知道是否存在 $x \in Q_A$。（对于 $Q_A$ 内每个解映射一次即可）也就是说，如果能解决问题 A，那么一定能解决问题 B。那么也就称 问题 B 可以归约为问题 A。（A 的解稍作处理可以变成 B 的解，解 B 的一个方法是先解 A；想解决问题 B，可以交给问题 A 来处理）

如果 A 解出来了就可以解出来 B 了（B 可以归约为 A），但是 B 是 NP 问题，那么 A 肯定也是 NP 问题。

如何证明 NP-Complete

有两个方法：

1. 找到一个 NP-Complete 问题，归约到这个问题。也就是你的解法可以解决这个 NP-Complete 问题。
2. 所有的 NP 问题都可以归约到你的问题。

显然在第一个 NP-Complete 问题被找到之前，不能用第一种方法。而这个问题就是 Circuit-SAT Problem。这个问题被证明是 NP-Complete 的。

Circuit-SAT Problem：一个包含 Xor, Or, And 等的门电路，输入一些 $0/1$ 使得输出为 $1$ 是否有解。

从它开始推出来（被归约）了很多 NP-Complete 问题，知道即可，不需要会证明：

1. SAT 问题：$n$ 个布尔变量，$m$ 个布尔连接词：具有一个/两个输入，一个输出的任何布尔函数，例如：ans, or, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$，一些括号组成的表达式 $\phi$ 是否可能为真。
   

2. 3-CNF-SAT 问题：$n$ 个布尔变量，$m$ 个语句，每个语句恰好三个变量 or 构成，语句之间用 and 连接。问其是否能够为真。
   

3. 团问题：简单无向图 $G = (V, E)$ 中的团是点集 $V' \in V$，满足其中每对点之间都有边连接。求是否存在大小为 $k$ 的团。（或者，最大团大小是什么）

4. 顶点覆盖问题：简单无向图 $G = (V, E)$ 中的顶点覆盖是点集 $V' \in V$，满足 $E$ 中的每条边，其中至少一端在 $V'$ 中。求是否存在大小为 $k$ 的顶点覆盖。

5. 子集和问题：给定正整数有限集合 $S$ 和一个整数目标 $t > 0$，问是否存在一个子集 $S' \in S$，使得其元素和为 $t$。

6. 哈密顿回路问题：无向图存在哈密顿回路吗？

7. 旅行商问题：$n$ 点 $m$ 边无向图，边有边权，求最小权哈密顿回路。

上述问题的证明关系大致是这样的：

8. 子图同构问题：两个无向图 $G_1, G_2$，$G_1$ 是否和 $G_2$ 的某一个子图同构？

9. 0-1 整数规划问题：给定 $m \times n$ 的整数矩阵 A 和一个整数 $m$ 维向量 b，是否有一个整数 $n$ 维向量 $x$，其取值为 $0$ 或者 $1$，满足 $Ax \le b$。

10. 整数线性规划问题：$x$ 的取值为任意整数。其他同上。

11. 集合划分问题：输入集合 $S$，问是否可以划分为两个集合使得它们的和相等。

12. 最长简单回路问题：一个图中找到最长的简单回路。（或者说，子图上的哈密顿路。）

13. 独立集问题：求图上最大独立集。

14. 图的着色问题：给定无向图，给每个点覆盖一个颜色，使得不存在一对颜色一样的相邻点。求最少使用多少个颜色可以。具体地，判定 3-着色 是 NP 完全问题。

15. 二分图完美匹配数。