微积分初步

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导数的定义

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点位置的导数：当 $x = x_0$ 时，$\cfrac{dy}{dx}$ 在 $dx \rightarrow 0$ 时的最近值。
也就是说，考虑 $x=x_0$ 的时候 $y=y_0$，当 $x=x_0+dx,dx \rightarrow 0$ 的时候 $y=y_0+dy$，那么 $\cfrac{dy}{dx}$ 是多少。
记为 $f'(x_0)$。

函数 $y=f(x)$ 的导函数：每一个 $x$ 都对应着一个$f'(x)$，这就是关于 $x$ 的一个新函数，叫做 $y=f(x)$ 的导函数。
记为 $f'(x)$。形象地，$f'(x_0)$ 就是 $f'(x)$ 在 $x=x_0$ 处的取值。

注意之后推式子的时候 $x$ 可以表示 $x$ 的某一个取值，或者意思是对任意一个 $x$ 的取值都成立这两种意思。

导数的一些基本公式

对于幂函数 $f(x)=x^k$，其导函数为 $f'(x) = kx^{k-1}$。理由如下：

考虑 $x = x_0 + dx, y = (x_0 + dx)^k$。容易发现 $[dx]y = x_0^{k-1} \times \dbinom{k}{1} = kx_0^{k-1}$。

对于三角函数 $f(x) = \sin(x)$，其导函数为 $f'(x) = \cos(x)$。可以借助几何图形（单位圆）来理解。

复合函数导数的求法

加法法则：$f(x)=g(x)+h(x)$，那么 $df=dg+dh=g'(x)dx+h'(x)dx=(g'(x)+h'(x))dx$
那么 $f'(x)=g'(x)+h'(x)$。

乘法法则：$f(x)=g(x)+h(x)$，那么 $df=dg \times h(x) + dh \times g(x) + dg \times dh = g'(x)h(x)dx + h'(x)g(x)dx+g'(x)h'(x)dx^2 = g'(x)h(x)dx + h'(x)g(x)dx$，$dx^2$ 忽略不计。

因此 $f'(x) = g'(x)h(x) + h'(x)g(x)$。也叫做“左乘右导加右乘左导”。

链式法则（复合法则）：$f(x)=g(h(x))$，那么 $df=h'(g(x))g'(x)dx$，因此 $f'(x) = h'(g(x))g'(x)$，也叫做“外导内乘内导”。

商法则：$(\cfrac{f(x)}{g(x)})' = \cfrac{-f(x)g'(x)+f'(x)g(x)}{g(x)^2}$

推导过程：

也可以使用链式法则推导，令外函数为 $\cfrac{1}{x}$，内函数为 $f(x)$，得到 $\cfrac{1}{f(x)}$ 的导数。

指数函数的求导

首先我们有 $(e^x)' = e^x$。也就是说，在每一个 $x$ 的取值上，沿着 $y = e^x$ 做切线，与横轴交点在 $x-1$。

然后根据链式法则，$(e^{cx})' = ((e^x)^c)' = c(e^x)^{c-1} \times e^x = ce^{cx}$

于是 $(a^x)' = ((e^{\ln a})^x) ' = \ln a \times a^x$。

隐函数的求导

隐函数：一个关于 $x,y$ 的等式，不要求 $x \rightarrow y$ 唯一。例如，$x^2 +y^2 = 5^2$。

这样的函数求导，我们对左边和右边分别求导，然后推出式子，类似这样：

为什么这样做是对的？考虑将左边看成一个关于 $x,y$ 的二元函数 $S(x, y) = x^2 +y^2$。我们在一个表示这个隐函数的曲线（圆）上对 $x,y$ 进行微小的变换。那么变换之后的 $S$ 可能会变动。

如果我们想让其依然停留在圆上，那么就需要保持 $dS$ 不变动。也就是说，保持 $dS$ 不变动也就意味着停留在圆上的条件成立。

我们想算的是，同样待在圆上（其实是切线 $(x+dx)^2 +(t+dy)^2 = 5^2$，但是 $dx,dy$ 很小就是在圆上），$dx, dy, dS$ 的相互变化规律。我们有 $dS = 2xdx + 2ydy = 0$。那么也就推出了 $2xdx +2ydy = 0$。

这样变换视角，考虑满足一定条件的变量之间的相互制衡关系，得到一个等式就是研究隐函数求导的关键思想。利用这个思想，我们可以对一些知道反函数导数的函数求导。

$eg.$ $y = \ln x$ 的导数。

$y = \sqrt x$ 的导数。