微积分初步

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导数的定义

函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 点位置的导数：当 \(x = x_0\) 时，\(\cfrac{dy}{dx}\) 在 \(dx \rightarrow 0\) 时的最近值。
也就是说，考虑 \(x=x_0\) 的时候 \(y=y_0\)，当 \(x=x_0+dx,dx \rightarrow 0\) 的时候 \(y=y_0+dy\)，那么 \(\cfrac{dy}{dx}\) 是多少。
记为 \(f'(x_0)\)。

函数 \(y=f(x)\) 的导函数：每一个 \(x\) 都对应着一个\(f'(x)\)，这就是关于 \(x\) 的一个新函数，叫做 \(y=f(x)\) 的导函数。
记为 \(f'(x)\)。形象地，\(f'(x_0)\) 就是 \(f'(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的取值。

注意之后推式子的时候 \(x\) 可以表示 \(x\) 的某一个取值，或者意思是对任意一个 \(x\) 的取值都成立这两种意思。

导数的一些基本公式

对于幂函数 \(f(x)=x^k\)，其导函数为 \(f'(x) = kx^{k-1}\)。理由如下：

考虑 \(x = x_0 + dx, y = (x_0 + dx)^k\)。容易发现 \([dx]y = x_0^{k-1} \times \dbinom{k}{1} = kx_0^{k-1}\)。

对于三角函数 \(f(x) = \sin(x)\)，其导函数为 \(f'(x) = \cos(x)\)。可以借助几何图形（单位圆）来理解。

复合函数导数的求法

加法法则：\(f(x)=g(x)+h(x)\)，那么 \(df=dg+dh=g'(x)dx+h'(x)dx=(g'(x)+h'(x))dx\)
那么 \(f'(x)=g'(x)+h'(x)\)。

乘法法则：\(f(x)=g(x)+h(x)\)，那么 \(df=dg \times h(x) + dh \times g(x) + dg \times dh = g'(x)h(x)dx + h'(x)g(x)dx+g'(x)h'(x)dx^2 = g'(x)h(x)dx + h'(x)g(x)dx\)，\(dx^2\) 忽略不计。

因此 \(f'(x) = g'(x)h(x) + h'(x)g(x)\)。也叫做“左乘右导加右乘左导”。

链式法则（复合法则）：\(f(x)=g(h(x))\)，那么 \(df=h'(g(x))g'(x)dx\)，因此 \(f'(x) = h'(g(x))g'(x)\)，也叫做“外导内乘内导”。

商法则：\((\cfrac{f(x)}{g(x)})' = \cfrac{-f(x)g'(x)+f'(x)g(x)}{g(x)^2}\)

推导过程：

也可以使用链式法则推导，令外函数为 \(\cfrac{1}{x}\)，内函数为 \(f(x)\)，得到 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 的导数。

指数函数的求导

首先我们有 \((e^x)' = e^x\)。也就是说，在每一个 \(x\) 的取值上，沿着 \(y = e^x\) 做切线，与横轴交点在 \(x-1\)。

然后根据链式法则，\((e^{cx})' = ((e^x)^c)' = c(e^x)^{c-1} \times e^x = ce^{cx}\)

于是 \((a^x)' = ((e^{\ln a})^x) ' = \ln a \times a^x\)。

隐函数的求导

隐函数：一个关于 \(x,y\) 的等式，不要求 \(x \rightarrow y\) 唯一。例如，\(x^2 +y^2 = 5^2\)。

这样的函数求导，我们对左边和右边分别求导，然后推出式子，类似这样：

为什么这样做是对的？考虑将左边看成一个关于 \(x,y\) 的二元函数 \(S(x, y) = x^2 +y^2\)。我们在一个表示这个隐函数的曲线（圆）上对 \(x,y\) 进行微小的变换。那么变换之后的 \(S\) 可能会变动。

如果我们想让其依然停留在圆上，那么就需要保持 \(dS\) 不变动。也就是说，保持 \(dS\) 不变动也就意味着停留在圆上的条件成立。

我们想算的是，同样待在圆上（其实是切线 \((x+dx)^2 +(t+dy)^2 = 5^2\)，但是 \(dx,dy\) 很小就是在圆上），\(dx, dy, dS\) 的相互变化规律。我们有 \(dS = 2xdx + 2ydy = 0\)。那么也就推出了 \(2xdx +2ydy = 0\)。

这样变换视角，考虑满足一定条件的变量之间的相互制衡关系，得到一个等式就是研究隐函数求导的关键思想。利用这个思想，我们可以对一些知道反函数导数的函数求导。

\(eg.\) \(y = \ln x\) 的导数。

\(y = \sqrt x\) 的导数。