负环、差分约束和传递闭包

负环

判负环：如果 $n-1$ 次之后依然存在可以松弛的边，那么就是存在负环。（负环永远可以松弛）

对于 spfa：看看有没有哪个元素入队 $n$ 次。

代码：（有负环 YES，否则 NO）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define cl(i, n) i.clear(),i.resize(n);
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 1e9;
void cmax(int &x, int y) {if(x < y) x = y;}
void cmin(int &x, int y) {if(x > y) x = y;}
vector<pii> g[2010];int n, m; 
int dis[2010];
const int v = 10000;
void bellman_ford() {
    f(i, 1, n - 1) {
        f(j, 1, n) {
            for(pii kw : g[j]) {
                int k = kw.first, w = kw.second;
                if(dis[k] > dis[j] + w) {
                    dis[k] = dis[j] + w;
                }
            }
        }
    }
    f(j, 1, n) {
        for(pii kw : g[j]) {
            int k = kw.first, w = kw.second;
            if(dis[k] > dis[j] + w) {
                cout << "YES\n";
                return;
            }
        }
    }
    cout << "NO\n";
    return;
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    //time_t start = clock();
    //think twice,code once.
    //think once,debug forever.
    int T; cin >> T;
    while(T--) {
        cin >> n >> m;
        f(i, 1, n) g[i].clear();
        f(i, 1, m) {
            int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
            if(w < 0) {
                g[u].push_back({v, w});
            }
            else {
                g[v].push_back({u, w});
                g[u].push_back({v, w});
            }
        }  
        f(i, 1, n) dis[i] = inf;
        dis[1] = 0;
        bellman_ford();
    }
    //time_t finish = clock();
    //cout << "time used:" << (finish-start) * 1.0 / CLOCKS_PER_SEC <<"s"<< endl;
    return 0;
}

差分约束

差分约束系统 是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组，它包含 $n$ 个变量 $x_1,...,x_n$ 以及 $m$ 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 $x_i - x_j \le c_k$，其中 $1 \le i, j \le n, i \neq j, 1 \le k \le m$ 并且 $c_k$ 是常数（可以是非负数，也可以是负数）。我们要解决的问题是：求一组解 $x_1=a_1,...,x_n=a_n$，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

差分约束系统中的每个约束条件 $x_i - x_j \le c_k$ 都可以变形成 $x_i \le x_j + c_k$，这与单源最短路中的三角形不等式 $dist[y] \le dist[x] + z$ 非常相似。因此，我们可以把每个变量 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 $x_i - x_j \le c_k$，从结点 $j$ 向结点 $i$ 连一条长度为 $c_k$ 的有向边。

注意到，如果 $\{a_1, ..., a_n\}$ 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 $d$，$\{a_1+d, ..., a_n+d\}$ 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 $d$ 刚好被消掉。

过程

设 $dist[0] = 0$ 并向每一个点连一条权重为 $0$ 边，跑单源最短路，若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解，否则，$x_i = dist[i]$ 为该差分约束系统的一组解。

时间复杂度 $O(nm)$。

原理

对于一个环，假设两个相邻点编号为 $i,j$。如果存在负环，那么 $w_i - w_j \le a_1$，$w_i - w_j \ge -a_2$，且 $a_1 + a_2 < 0$，也即 $a_1 \le -a_2$。显然矛盾。

否则，对于 $w_i - w_j \le a$，在图上体现了 $d_i \le d_j + a$ 的限制。（从 $j$ 连向 $i$）而 $d_i$ 体现为 $0$ 到 $i$ 的距离。

扩展

考虑差分约束系统 $\cfrac{w_i}{w_j} \le c_k$ 的求解方式。就是把每个数字取 $\log$ 即可。

传递闭包

floyd，但是每条边表示某一种关系 $rel_{i, j}$。对于 $rel_{i, j}$ 和 $rel_{j, k}$，可以维护将其合并到 $rel_{i, k}$。

具体地，它是一个布尔矩阵，满足 $i$ 可达 $j$ 的时候为 $1$ 否则为 $0$。那么用 floyd 就是求可达性的过程，十分自然。

求出来的结果是一个偏序图。