寻找因子和素性检验
《初等数论及其运用》6.1 章节
Wilson 定理
对于 \(p\)，
证明：
对于素数，利用缩系的性质证明。
对于合数，考虑分解 \(p=ab\)，然后考虑 \((p-1)!\) 里面是否包含 \(a,b\) 即可。很容易证明。
Fermat 小定理
对于 \((a,p) = 1\)，有 \(a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)\)。
判断素数
miller-rabin 算法
考虑用费马小定理判断素性。对于 \(\Z_n^*\)（模 \(n\) 的缩系）中的一个元素 \(a\)，如果 \(a^{p - 1} \not \equiv 1(\bmod p)\) 那么 \(p\) 一定是合数。
也即，我们可以选取一个 \(S \subseteq \Z_n^+\)，计算 \(\bigwedge \limits_{i \in S} witness(i, n)\) 的值，其中 \(witness(i, n)\) 是一个二元函数，表示 \(i^{n - 1} \equiv 1\) 是否成立。如果均成立，那么认为它是素数。
很遗憾这个判断对于一些伪素数可能出现错误。事实上，取多组基均不能判断出的素数存在，称为 Carmicheal 数。这使得这个算法是错误的。
但是我们对 \(witness\) 函数稍微改进，就可以得到一个没有坏的输入的素性检验方法。
过程是这样的：对于奇数 \(n\)（首先判断一下偶数），令 \(n - 1 = 2^t \times u\)，其中 \(u\) 是奇数，\(t \ge 1\)。考虑算出 \(i^u\) 的值，然后不断乘以 \(2\)。乘了 \(i\) 次 \(2\) 之后的数记为 \(a_i\)，得到一个序列 \(a_0, a_1, ..., a_t\)。如果存在一个 \(k\)，使得 \(a_k = 1, a_{k-1} \neq 1, a_{k-1} \neq -1\)，那么其是合数。
这个论断为什么成立呢？考虑 \(a_k = a_{k-1}^2\)。如果 \(a_{k-1}^2 - 1 \equiv 0, (a_{k-1}^2 - 1)(a_{k-1}^2 +1) \equiv 0\)，那么我们找到了一组因子。为了避免找到平凡因子 \(0, n\)，判断 \(a_{k-1}^2\) 是否是 \(\pm 1\) 即可。如果都不是，一定找到的是非平凡因子。（这点分类讨论一下不难证明）
WITNESS(a, n)
let t and u be such that t >= 1, u is odd, and n - 1 = 2^t u
x_0 = a^u mod n
for i = 1 to t
x_i = x_{i-1}^2 mod n
if x_i == 1 and x_{i-1} != -1 and x_{i-1} != 1
return TRUE
if(x_t != 1)
return TRUE
return FALSE
MILLER_RABIN(n, s)
for j=1 to s
a = random(1, n - 1)
if(WITNESS(a, n)) return COMPOSITE
return PRIME
如果 \(x\) 数组出现一个 \(1\)，那么后面的都是 \(1\)。
出现一个 \(-1\)，后面也都是 \(1\)。
直观感受一下，得到的 \(x\) 数组有四种可能：
- \(x = <..., d>,d \neq 1\)：不是 \(1\) 结尾，是合数。
- \(x = <..., -1, 1, ..., 1>\)：以 \(1\) 结尾，而且最后一个不是 \(1\) 的数是 \(-1\)，没判断出。
- \(x = <1, 1, ..., 1>\)：以 \(1\) 结尾，第一个数是 \(1\)，当且仅当 \(a = 1\)，没判断出。
- \(x = <..., d, 1, ..., 1>\)：是合数。
事实上，对于任何一个正合数 \(n\)，其非证据的个数 \(\le \cfrac{n}{2}\)，也就是说对正合数进行 \(s\) 次验证之后没判断出的概率是 \(2^{-s}\)。
在 oi 方面，对 \(2^{64}\) 下的数进行素性检验可以用到 \(s = {2, 3, 5, 7, ...}\)（前 \(12\) 个素数），可以百分百保证正确性。
注意用这组数据进行检验的时候：
- 所有数据都要用到，而不是只用 \(<n\) 的。
- 使用 \(a \bmod n\)。如果为 \(0\) 直接跳过这组测试。
