例题计划

一天看十个题解思路和十个优秀代码，自己挑题目。尽量挑选自己的分数段的。
注明：（思路）/（代码）
时间：晚自习回来之后。可以适量思考。

2022.11.11

CF546E

【题意】
给定 \(n\) 点 \(m\) 边无向图。第 \(i\) 个点有 \(a_i\) 个士兵，并且每个士兵可以选择留在原地或者前往与当前位置距离为 \(1\) 的点。求是否存在一个士兵迁移方式使得第 \(i\) 个点有 \(b_i\) 个兵。
\(n\le100,m\le200,a_i\le100,b_i\le100\)
【分析】
首先想到对每一条边设置元，跑高斯消元。但是有问题：这其中还包含了一些不等关系：每个点流出去的元的总和小于等于 \(a_i\)。
考虑网络流。考虑 \(s\) 和每个点的入边连接一个流量为 \(a_i\) 的边，每个点的入边和它能到达的每一个点连接一个流量为 \(inf\) 的边，每个点的出边和 \(t\) 连接一个流量为 \(b_i\) 的边。然后跑最大流，是否合法看总流量是否等于 \(\sum a_i\)。方案看残量网络中反边容量也就是正边已经流的量。

CF713B

【题意】
有个 \(n \times n\) 的矩阵中有两个不相交的矩形。你可以进行不超过 \(200\) 次询问，每次询问划定一个矩形范围，然后系统会返回完全包含于这个矩形范围的矩形个数（\(0\) 到 \(2\)），需要找出两个矩形在何处。
\(n \le 2^{16}\)
【分析】
先二分出两个矩形之间的边界，然后分别二分即可。每次独立的二分只需要 \(16\) 次，绰绰有余。

2022.11.12

ABC277F

【题意】
有个 \(n \times m\) 的矩阵，每个元素是 \(0\) 或某个正整数。可以进行若干次操作，每次把矩阵中两行交换，或者两列交换。需要使得最后的矩阵忽略 \(0\) 之后，对于每个元素按照其标号字典序排序之后是一个不降序列。
\(n \times m \le 10^6\)
【思想】
简化联通关系的建立。
【分析】
首先，转换操作。进行若干次操作之后，可以将行号排成任意排列，列号排成任意排列。例如：

\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix} \]

可以将行号排成 \(\{2,3,1\}\)，列号排成 \(\{2,1,4,3\}\)，那么矩阵变成：

\[\begin{bmatrix}5&6&4\\2&3&1\\11&12&10\\8&9&7\end{bmatrix} \]

其次，分析怎样的矩阵满足条件。

• 行内元素在 sort 之后是不会变化的。那么如果找到每一行最小和最大的非 \(0\) 元素，然后排序，如果某一行的最小元素小于上一行的最大元素，那么就不可以。
• 每一行还要 sort。那么如果 \(a_{i,j} < a_{i,k}\)，在列排列中 \(j<k\) 必须满足。如果出现冲突，那么就不可以。考虑用图维护这样的信息：对于 \(a_{i,j} < a_{i,k}\)，连边 \(j \rightarrow k\)。那么只有当图为 DAG 时才是满足条件的。

这样，时间复杂度是 \(O(nw)\) 的。不能通过此题。考虑优化。

可以考虑到，如果 \(a < b < c\)，那么不需要建立 \(a \rightarrow b,b \rightarrow c, c \rightarrow a\) 三条边，而是建立 \(a \rightarrow b \rightarrow c\) 即可。这样形成一条链，不管哪个后面的结点往前连边都是会出现环的。

但是有一个问题：如果出现一个块中有若干个相等的数，那么这些数均要和前后连边。注意到这个之后就好做了，这个就一个虚点，然后通过虚点建立联通关系。