例题计划

一天看十个题解思路和十个优秀代码，自己挑题目。尽量挑选自己的分数段的。
注明：（思路）/（代码）
时间：晚自习回来之后。可以适量思考。

2022.11.11

CF546E

【题意】
给定 $n$ 点 $m$ 边无向图。第 $i$ 个点有 $a_i$ 个士兵，并且每个士兵可以选择留在原地或者前往与当前位置距离为 $1$ 的点。求是否存在一个士兵迁移方式使得第 $i$ 个点有 $b_i$ 个兵。
$n\le100,m\le200,a_i\le100,b_i\le100$
【分析】
首先想到对每一条边设置元，跑高斯消元。但是有问题：这其中还包含了一些不等关系：每个点流出去的元的总和小于等于 $a_i$。
考虑网络流。考虑 $s$ 和每个点的入边连接一个流量为 $a_i$ 的边，每个点的入边和它能到达的每一个点连接一个流量为 $inf$ 的边，每个点的出边和 $t$ 连接一个流量为 $b_i$ 的边。然后跑最大流，是否合法看总流量是否等于 $\sum a_i$。方案看残量网络中反边容量也就是正边已经流的量。

CF713B

【题意】
有个 $n \times n$ 的矩阵中有两个不相交的矩形。你可以进行不超过 $200$ 次询问，每次询问划定一个矩形范围，然后系统会返回完全包含于这个矩形范围的矩形个数（$0$ 到 $2$），需要找出两个矩形在何处。
$n \le 2^{16}$
【分析】
先二分出两个矩形之间的边界，然后分别二分即可。每次独立的二分只需要 $16$ 次，绰绰有余。

2022.11.12

ABC277F

【题意】
有个 $n \times m$ 的矩阵，每个元素是 $0$ 或某个正整数。可以进行若干次操作，每次把矩阵中两行交换，或者两列交换。需要使得最后的矩阵忽略 $0$ 之后，对于每个元素按照其标号字典序排序之后是一个不降序列。
$n \times m \le 10^6$
【思想】
简化联通关系的建立。
【分析】
首先，转换操作。进行若干次操作之后，可以将行号排成任意排列，列号排成任意排列。例如：

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix}$$

可以将行号排成 $\{2,3,1\}$，列号排成 $\{2,1,4,3\}$，那么矩阵变成：

$$\begin{bmatrix}5&6&4\\2&3&1\\11&12&10\\8&9&7\end{bmatrix}$$

其次，分析怎样的矩阵满足条件。

• 行内元素在 sort 之后是不会变化的。那么如果找到每一行最小和最大的非 $0$ 元素，然后排序，如果某一行的最小元素小于上一行的最大元素，那么就不可以。
• 每一行还要 sort。那么如果 $a_{i,j} < a_{i,k}$，在列排列中 $j<k$ 必须满足。如果出现冲突，那么就不可以。考虑用图维护这样的信息：对于 $a_{i,j} < a_{i,k}$，连边 $j \rightarrow k$。那么只有当图为 DAG 时才是满足条件的。

这样，时间复杂度是 $O(nw)$ 的。不能通过此题。考虑优化。

可以考虑到，如果 $a < b < c$，那么不需要建立 $a \rightarrow b,b \rightarrow c, c \rightarrow a$ 三条边，而是建立 $a \rightarrow b \rightarrow c$ 即可。这样形成一条链，不管哪个后面的结点往前连边都是会出现环的。

但是有一个问题：如果出现一个块中有若干个相等的数，那么这些数均要和前后连边。注意到这个之后就好做了，这个就一个虚点，然后通过虚点建立联通关系。