CF1732D 解题报告（mex 相关）

题意：给定集合 \(\{0\}\) 和 \(q\) 次操作，每次操作有两种情况：

• \(+~x\)：向集合内插入 \(x\)，保证集合里之前没有 \(x\)。
• \(-~x\)：在集合中删除 \(x\)，保证集合中之前有 \(x\)。
• \(?~k\)：求集合的 \(k-\operatorname{mex}\)，即最小的不包含在集合内的能被 \(k\) 整除的数。

分析：
先考虑没有删除操作的情况，也就是 D1。

首先暴力做法是 \(O(n^2)\)。
我们想到，当一个数插入时，仅当它是某个 \(k-\operatorname{mex}\) 的时候才会影响，其他的 \(\operatorname{mex}\) 不会被它影响。
那么在每插入一个数的时候把其是 \(k-\operatorname{mex}\) 的 \(k\) 更新一遍，可不可行呢？
理论上不可行，考虑构造 \(1,2,4,...\) 的序列， \(k = 1,2,4,...\)，那么时间复杂度还是 \(O(n^2)\)。但是实际上到了 \(10^{18}\) 之后只能构造 \(3, 6, 9, ...\)，每次的查询序列会增加 \(1\)，因此跑的很不满。加上 cf 的评测机牛逼，能过。

那么我们如果插入暴力维护，询问的时候再从当前标记往后逐一判断，可不可行呢？
首先因为没有删除操作，因此 \(k\) 的标记一旦打到 \(x\)，就不会再打到比 \(x\) 小的东西了。因此正确性是对的。
其次这玩意的理论复杂度和上一个一样，不知道为啥跑得更快。

补充：ygg证明了这个算法是 \(O(n \log n)\) 的。