区间贪心问题总结

假设有 \(n\) 个区间，考虑将值域离散化，使其与 \(n\) 同阶。

CF1701D

给定一些区间，给它们分别赋上区间内一个值，使得这些值不重复。

对区间右端点排序，遍历一遍，每次赋值尽量靠近左端点的值。
时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

ZOJ2667

有若干个带权值区间，选定几个区间，使得它们互不相交，且权值和最大。

先按照右端点排序，然后 \(dp[i]\) 表示考虑右端点坐标在 \(i\) 之前的区间最大的权值。\(dp[i]\) 从 \(dp[i-1]\) 和 \(\max \limits_{j,r_j==i}\{dp[l_j - 1]+w_j\}\) 转移而来。
时间复杂度 \(O(n)\)。

BZOJ1745

有若干个权值为 \(w_i\) 的区间，对于每个区间取选中值 \(v_i \le w_i\)，使得每一个数字对应选中值不超过 \(c\)，且选中值和最大。

如果 \(c=1\)，那么是非常经典的问题。我们考虑对右端点排序，然后按照顺序如果当前时段已经有区间在了（可以记录上一个区间结束的时间），那么就跳过；否则用这个区间。考虑证明：对于每一个时段，在当前时段之前的飞机已经确定的情况下，考虑可以使用的相邻两个区间 \(a,b,r_a < r_b\)，如果两个区间不交叉，那么两个区间都可以用上；如果两个区间交叉，那么只能在这两个区间中选一个区间，并且之后的区间选择中，由于选 \(a\) 留下了更大的空间，一定不劣。

考虑 \(c>1\) 的推广。可以把每个区间拆成 \(w_i\) 个权值为 \(1\) 的区间，仍然按照右端点排序。