二分+ST表

https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P7009

题意：给定一个序列，有 $T$ 组询问，每次给出 $n$ 个数 $a_i$。

你需要找到这个数组的一个子序列（要求编号连续），使得该序列中所有数的最大公约数和序列长度的乘积最大，并输出这个最大值。

首先，$\gcd$ 满足可重复合并性质，可以 $ST$ 表做到不修改的 $O(1)$ 查询。

然后，前缀 $\gcd$ 有单调不增的性质，并且有：
$\mathbf{长度为~n~的不同前缀的 ~\gcd~ 一共有~ \log n~ 种。}$
对于一定的 $\gcd$ 的值，肯定是区间长度越大越好，那么我们可以二分查找最右边的端点并更新答案。

因此我们可以枚举左端点，第一次查找 $\gcd$ 就是其本身的，然后每次二分更新答案，并且将寻找的 $\gcd$ 改成第一个不满足的 $\gcd$ 值。

时间复杂度，$O(n) \times O(\log n) \times O(\log n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
int n;
ll a[100010];
ll st[100010][25];
ll query(int x, int y) {
    int xx = log2(y - x + 1);
	return __gcd(st[x][xx], st[y - (1 << xx) + 1][xx]);
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    int t; cin >> t;
    while(t--) {
    	cin >> n;
    	ll ans = 0;
    	f(i, 1, n) {
    		cin >> a[i];
    		st[i][0] = a[i];
		}
		f(i, 1, 20) {
			f(j, 1, n) {
				int len = (1 << i);
				if(j + len - 1 > n) break;
				st[j][i] = __gcd(st[j][i - 1], st[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
			}
		}
		f(l, 1, n) {
		    ll gcd = a[l], bound = query(l, n), rl = l;
			while(gcd > bound) {
				int rr = n;
				while(rl < rr) {
					int mid = (rl + rr + 1) >> 1;
					if(query(l, mid) == gcd) rl = mid;
					else rr = mid - 1;
				}
				ans = max(ans, gcd * (rl - l + 1));
				gcd = query(l, rl + 1);
				rl = rl + 1;
			}
			ans = max(ans, bound * (n - l + 1));	
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}

注意：这个 $rl$ 一定不能清到 $l$，否则重复寻找而且慢，还容易挂。

https://codeforces.com/contest/475/problem/D

题意：
给出一个长度为$n(1<=n<=10^{5})$ 的序列和$q(1<=q<=3*10^{5})$ 个询问,每个询问输出一行,询问$gcd(a_l,a_{l+1},...,a_r)=x$ 的$(i,j)$ 的对数.

思路是刚才的变形。只需要预处理即可，一共不会超过 $n\log n$ 个 $\gcd$ 的值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
int n;
ll a[100010];
ll st[100010][25];
ll query(int x, int y) {
    int xx = log2(y - x + 1);
	return __gcd(st[x][xx], st[y - (1 << xx) + 1][xx]);
}
map<ll, ll> num;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    cin >> n;
    
    f(i, 1, n) {
    	cin >> a[i];
    	st[i][0] = a[i];
	}
	f(i, 1, 20) {
		f(j, 1, n) {
			int len = (1 << i);
			if(j + len - 1 > n) break;
			st[j][i] = __gcd(st[j][i - 1], st[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
		}
	}
	f(l, 1, n) {
		ll gcd = a[l], bound = query(l, n), lastrl = l, rl = l;
		while(gcd > bound) {
			int rr = n;
			while(rl < rr) {
				int mid = (rl + rr + 1) >> 1;
				if(query(l, mid) == gcd) rl = mid;
				else rr = mid - 1;
			}
			if(!num.count(gcd)) num[gcd] = 0;
			num[gcd] += (rl - lastrl + 1);
			gcd = query(l, rl + 1);
			rl = rl + 1; lastrl = rl;
		}
		if(!num.count(bound)) num[bound] = 0;
		num[bound] += (n - lastrl + 1);
	}
	int q; cin >> q;
	while(q--) {
		ll x; cin >> x;
		if(!num.count(x)) cout << 0 << endl;
		else cout << num[x] << endl;
	}
    return 0;
}

区间 $\min,\max$ 同样可以使用 ST 表维护。
比如下面这一题：
https://www.luogu.com.cn/problem/CF689D

题意：

• 给定序列 $a$ 和序列 $b$，长度均为 $n$。问有多少组 $(l,r)$，满足 $1\le l\le r\le n$ 且

$$\max_{i=l}^r a_i=\min_{i=l}^r b_i$$

• $1\le n\le 2\times 10^5$，$|a_i|,|b_i|\le 10^9$。

注意到，左端点固定的情况下，$\max$ 单调不降，$\min$ 单调不升，于是如果存在 $r$ 使得满足题意，那么在 $l~r-1$ 一定是 $min >= max$，在 $r+1, n$ 一定是 $max >= min$。于是满足题意的 $r$ 一定是一段数字，分别二分查找左右端点即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
int n;
ll a[200010], b[200010];
ll mn[200010][25], mx[200010][25];
ll qmn(int x, int y) {
    int xx = log2(y - x + 1);
	return min(mn[x][xx], mn[y - (1 << xx) + 1][xx]);
}
ll qmx(int x, int y) {
    int xx = log2(y - x + 1);
	return max(mx[x][xx], mx[y - (1 << xx) + 1][xx]);
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    cin >> n;
    f(i, 1, n) {
    	cin >> a[i];
    	mx[i][0] = a[i];
	}
    f(i, 1, n) {
    	cin >> b[i];
    	mn[i][0] = b[i];
	}	
	f(i, 1, 20) {
		f(j, 1, n) {
			int len = (1 << i);
			if(j + len - 1 > n) break;
			mn[j][i] = min(mn[j][i - 1], mn[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
			mx[j][i] = max(mx[j][i - 1], mx[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
		}
	}
	ll ans = 0;
	f(i, 1, n) {
		if(a[i] > b[i]) continue;
		if(qmx(i, n) < qmn(i, n)) continue;
		int ll = i, lr = n;
		while(ll < lr)
		{
			int mid = (ll + lr) >> 1;
		    if(qmx(i, mid) < qmn(i, mid)) ll = mid + 1;
		    else lr = mid;
		}
		int rl = i, rr = n;
		while(rl < rr) {
			int mid = (rl + rr + 1) >> 1;
		    if(qmx(i, mid) > qmn(i, mid)) rr = mid - 1;
		    else rl = mid;
		}		
		if(ll > rl) continue;
		else ans += rl - ll + 1;
	}
	cout << ans << endl;
    return 0;
}

https://www.luogu.com.cn/problem/CF359D

题意：
$Simon$ 有一个长度为 $N$ 的正整数数列 $a_1 , a_2 , \cdots , a_n$ ，现在想找到这个数列中最长的一个区间，满足区间中有一个数 $x$ 可以整除区间中任意数。
第一行输出两个正整数 $cnt~,~len$，表示满足要求的最长区间的个数与长度。
第二行输出 $cnt$ 个升序排列的正整数，表示所有满足要求的最长区间的左端点。
这里，区间的长度定义为右端点减左端点。

只需要判断区间 $\gcd$ 是不是等于区间 $\min$ 即可。（这个数 $x$ 一定是最小值）
$\gcd$ 和 $\min$ 都是单减，没有单调性。从哪儿入手呢？
如果一个区间满足题意，那么它包含 $\min$ 的那个子区间一定也满足题意，比如：
$6 9 3$ 满足题意，那么 $9 3$ 一定满足题意。
因此区间的长度有单调性。
我们可以二分区间长度，然后对于每一个长度， $O(n)$ 枚举左端点，并判断是否存在一个 $l,r$ 满足 $\gcd(l,r)==\min(l, r)$ 即可。