[PKUSC 2023 D1T3] 天气预测

合集 - 题解(10)

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收起

一棵以 $1$ 为根的树，每个点 $u$ 有一对权值 $(a_u,b_u)$，$a_u$ 为 $1$ 的概率为 $p_u$，为 $0$ 的概率为 $1-p_u$。确定 $a_u$ 后，计算 $b_u$ 为 $a_u$ 与 $b_v$（$v$ 为 $u$ 的子节点）的众数（保证子节点个数为偶数个，即参与计算众数的点数为奇数）。求 $b_1$ 为 $1$ 的概率。$Q$ 次更改某个点 $u$ 的 $p_u$，修改间不独立。（N<=2e5,Q<=5e4）

某些人一看到多次修改就上重链部分、动态 DP。思维僵化了。

一般的动态 DP 所用的矩阵显然常数过大，还不容易维护。

应当注意到动态维护 DP 值的困难性，考虑离线。离线后可以对每个点建立时间轴，存储每个时间段分别是什么值。

考虑转移到 $u$，记参与众数计算的有 $deg_u$ 个。发现要合并一堆时间轴。观察：

1. 这时很可能出现一个段数多一堆段数少的情况，直接分治合并就错了。
2. 合并的中间结果不应是“每个时间段的多项式”。

也就是说，应该是递归到一段区间，一部分时间轴在该区间内概率不变。可以想到线段树合并，但是是多个线段树合并。

一部分时间轴在该区间内概率不变，即这些时间轴在该区间是叶子。我们的策略是，挑出叶子，合并信息，递归下传，直至非叶子不超过一个。这个过程维护一个多项式信息。

非叶子不超过一个时，合并答案，某时间点是 $1$ 的概率从 $p$ 变为 $p$ 乘上有 $(deg_u-1)/2$ 个 $1$ 的概率，加上至少有 $(deg_u-1)/2+1$ 个 $1$ 的概率。线段树上维护 mul,add 标记。

一个细节是维护的多项式信息次数不能太高，最多不超过当前非叶子个数，因为太低次数的不可能对答案有贡献。低次数的系数抹为 $0$ 再整体平移。这时为了算前缀和，必须最开始就乘上一个 $(1+x+x^2+x^3+\cdots)$。

$O(N\log^2 N+Q\log^3Q)$。前者是乘 $N$ 个一次多项式，后者是线段树合并。

skip2004 的 std。https://qoj.ac/submission/413331