CCPC Final 2023 B. Periodic Sequence

合集 - 题解(10)

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https://vjudge.net/problem/QOJ-8543

给定 $n$，对于 $i=1,2,\ldots,n$ 求出最长可能的周期字符串序列长度 F(i)，满足序列中字符串的长度 $≤i$。一个字符串序列 $S_1,S_2,\ldots,S_l$ 是周期字符串序列，当且仅
当对于每个 $1≤i<l$ 都满足 $S_i$ 是 $S_{i+1}$ 的周期，并且它们两两不同。（n<=2e5）

先求单个 F(n)。

手玩几下，发现：第一个串一定是长为 n 的，并且一定是 abbbb... 形式。

:abbbb
:abbb
 abbba
:abb
 abbab
 abba
 abbaa
:ab
 ababa
 abab
 aba
 abaab
 abaa
 abaaa
:a
 aa
 aaa
 aaaa
 aaaaa

观察冒号处的前缀最小值。后面拖了一段串。抓 ab 领导的这一段分析：

1. 抓出 ab 后的每一个 a 开头的串，形似整数拆分；
2. 整数拆分是有序的；
3. 拆分的整数都不能超过开头 ab 串的长度（2）。
4. 被拆分的整数不超过 n-|ab|。

即求序列 x 的个数，使得 $\sum x\le n$，$x_i\le x_1$。

枚举开头 abb... 串的长度 x₁=k，得 F(n) 的生成函数：

$$\frac1{1-x}\sum_{k\ge1}\frac{x^k}{1-\sum_{1\le i\le k}x^i}=\frac1{1-x}\sum_{k\ge1}\frac{x^k}{1-\frac{x-x^{k+1}}{1-x}}$$

外面乘的 $\frac1{1-x}$ 是因为总和不超过 n 而不是恰好等于 n。

化简：

$$\sum_{k\ge1}\frac{x^k}{1-(2x-x^{k+1})}$$

$k\le\sqrt n$ 时，暴力计算贡献。具体来说，不断地给初始多项式 $x^k$ 乘上 $(2x-x^{k+1})$，再加上 $x^k$。可以写成完全背包转移。

$k>\sqrt n$ 时，化原式：

$$\begin{aligned}&\frac{x^k}{(1-2x)(1-\frac{-x^{k+1}}{1-2x})}\\ =&\frac{x^k}{1-2x}\sum_{j\ge0}\left(\frac{-x^{k+1}}{1-2x}\right)^j\\ =&\sum_{j\ge0}(-1)^{j}\frac{x^{(k+1)j+k}}{(1-2x)^{j+1}} \end{aligned}$$

显然 $j\le\sqrt n$ 的是有用的。$j$ 从大到小枚举，加完贡献后乘 $\frac1{1-2x}$，还是完全背包转移。

看 Dairuichen007 学会的代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
 
#define fi first
#define se second
#define mkp std::make_pair
using ll=long long;
using llu=unsigned long long;
using std::max;
using std::min;
template<class T> void cmax(T&a,T b){a=max(a,b);}
template<class T> void cmin(T&a,T b){a=min(a,b);}
 
const int NV=3e3;
 
ll mod;
 
namespace xm{
    int N,ans[NV+5],f[NV+5],g[NV+5];
    void lB(int k){
        memset(f,0,sizeof f);
        f[k]=1;
        for(int i=k+1;i<=N;++i) f[i]=(2ll*f[i-1]+mod-f[i-k-1])%mod;
        for(int i=1;i<=N;++i) ans[i]=(ans[i]+f[i])%mod;
    }void _(){
        scanf("%d%lld",&N,&mod);
        int B=sqrt(N);
        for(int i=1;i<=B;++i) lB(i);
        for(int x=B;~x;--x){
            for(int k=B+1;k<=N;++k){
                const int i=(k+1)*x+k;
                if(i<=N) g[i]=(g[i]+(x&1?mod-1:1))%mod;
            }
            for(int i=1;i<=N;++i) g[i]=(g[i]+2ll*g[i-1])%mod;
        }
        for(int i=1;i<=N;++i) ans[i]=(ans[i]+g[i])%mod;
        for(int i=1;i<=N;++i) printf("%lld ",ans[i]); puts("");
    }
}
 
int main(){
    xm::_();
    return 0;
}