我怎么理解集合划分容斥

注：实在想切 相互再归的鹅妈妈 和 [GDKOI 2024]异或图 的，建议先开 [POI2006] KRY-Crystals 题解看一下。

天下 OIers 苦证明久矣。通过对集合划分容斥的学习，使我加深了对容斥的目的与过程的理解。

先看最原始的集合划分容斥。

相互再归的鹅妈妈

在 0 到 R 间选 N 个互不相同的数 x1~N，使它们异或和为 0，求方案数。（R<=2^1e6-1,N<=7）

用本文第一行的方法求允许存在相同的数的答案。

考虑原始的容斥。有 $\binom N2$ 条要求，形如某两个数不相等。枚举这些要求的子集 $S$，表明钦定违反这些要求，求方案数乘容斥系数 (-1)^|S|，再求和。具体地，把被违反的要求看作边，连成若干连通块，钦定连通块内部选的 x 两两相等，求方案数。注意这里不要求一个连通块选的 x 不与其他连通块选的 x 不相等，我称之为连通块方案。

交换求和顺序算贡献。发现对于一个考虑到的连通块方案，其容斥系数和，就是满足 S 中的边连成的连通块方案恰符合此方案，(-1)^|S| 之和。

计算这个容斥系数和。对每个连通块分别考虑，最后乘起来就行。设 f(n) 表示 n 个点，边集 S 满足图连通，$\sum(-1)^{|S|}$。设 g(n) 表示 n 个点，任何一个边集 S，$\sum(-1)^{|S|}$。注意到 g(n)=[n=1]。这里用个小容斥，枚举 1 所在连通块大小 i，可得 $f(n)=g(n)-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i-1}\cdot f(i)\cdot g(n-i)=[n=1]-f(n-1)(n-1)$，边界 f(1)=1，归纳可得 f(n)=(-1)^n-1(n-1)!。

这样，就可以枚举连通块方案（即集合划分方案，总数为 Bell 数），设奇数大小连通块个数为 m，求任选 m 个数异或和为 0 的方案数，乘上容斥系数，求和，就是答案。

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以上是个硬核方法。以下来个有目的性的方法。

对于一个真实的连通块方案（即严格满足 x 相同的在同一连通块，不同的在不同的连通块），记 ai 表示第 i 个连通块大小，计入的次数为 [x 互不相同]=$\prod [a_i=1]$。

一个真实的连通块方案被上述的集合划分容斥（即枚举连通块方案）考虑到，当且仅当任意两个实际就不在同一个连通块的，在枚举的方案中也不在同一个连通块。枚举连通块方案时，给每个连通块分配与大小相关的容斥系数 f(siz)，那么方案的容斥系数就是各连通块的容斥系数之积。

对于一个真实的连通块方案中的每一个连通块，可以聚焦所有与之相关的 f(siz) 之积，其他项提取公因式，所要求的就是 $\sum_\text{划分} \prod_{siz_i\in\text{划分}} f(siz_i)=[a_i=1]$。

严谨推导式子：

$$\begin{aligned} &[a_i=1]\\ =&1^{\underline{a_i}}\\ =&\sum\limits_{i=0}^{a_i}(-1)^{a_i-i}{a_i\brack i}\\ =&\sum\limits_{m\in S}(-1)^{a_i-k}\prod_{i=1}^{k}(siz_i-1)!\\ =&\sum\limits_{m\in S}\prod_{i=1}^{k}(siz_i-1)!(-1)^{siz_i-1} \end{aligned}$$

其中 $m\in S$ 表示对大小为 ai 的集合 S 划分成 k 个连通块，大小分别为 sizi。

易得 f(siz)=(-1)^siz-1(siz-1)!。

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另一个例子。

BZOJ4671 异或图

一个 N 个点的完全图，给定 M 个边的子集，求有多少个子集的“异或”使得图连通。（N<=10,M<=60）

以下用第二种方法。仍然要明确容斥方式，即枚举集合划分，钦定不在同一集合的不连通。注意这里不要求同一集合的必须连通，我称之为连通块方案。

对于一个真实的连通块方案（即严格满足连通的在同一连通块，不连通的在不同的连通块），计入的次数为 [图连通]=[连通块个数=1]。

一个真实的连通块方案被上述的集合划分容斥（即枚举连通块方案）考虑到，当且仅当任意两个实际在同一个连通块的，在枚举的方案中也在同一个连通块。仔细考虑，就是对真实的连通块方案进行集合划分，任意一个划分均能统计到它。

设与连通块个数相关的容斥系数 f(n)，则 $[n=1]=\sum_{i=1}^n{n\brace i}f(i)$，反演得 $f(n)=\sum_{i=1}^n(-1)^{n-i}{n\brack i}[i=1]=(-1)^{n-1}(n-1)!$。

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给定边集的例子。

[GDKOI 2024]异或图

n 个点 m 条边的无向图和一个长度为 n 的数组 ai 以及一个整数 C，你需要求出有多少个长度为 n 的数组 b 满足：

1. 0<=bi<=ai。
2. 对于每条边 (u,v)，bu!=bv。
3. b 的异或和为 C。

（n<=15）

先用本文第一行的方法求出 m=0 的答案。

以下用第一种方法。枚举边集的子集 S，表明钦定违反这些要求，求方案数乘容斥系数 (-1)^|S| 的和。算贡献，即枚举集合划分，钦定在同一集合的 b 相等。注意这里不要求不同集合的 b 不相等，我称之为连通块方案，发现 S 满足形成的连通块方案与之恰符合，即 S 中的边集不跨越不同的连通块，同一连通块内边集形成的图连通。

这里实际上是对每个连通块内求容斥系数和，外面相乘。设 f(V) 表示点集 V，V 导出子图边集的子集 S 满足图连通，$\sum(-1)^{|S|}$。设 g(V) 表示 V 个点，V 导出子图边集的子集 S，$\sum(-1)^{|S|}$。注意到 g(V)=[|E|=0]。这里用个小容斥，枚举最小点所在连通块的点集 T，可得 $f(V)=g(V)-\sum_{mn\in T}\cdot f(T)\cdot g(V\backslash T)$。

这样就能 O(3^N) 计算容斥系数了。

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你可能要问我什么时候用第一种方法，什么时候用第二种方法。答案是怎么方便怎么来。

网上还有生成函数的表述，这里一并解读。

引用一份看到的形式化描述：在某种等价关系下，对于某一组合结构，构成其的元素其可以被划分成若干等价类，有一关于等价类的系数 F(x)（即这一等价类的贡献系数）。而我们的 dp 不能恰好地刻画出每一极大等价类（有可能有相互等价的等价类），记等价类之间的合并关系为 G(x)，我们设计容斥系数 H(x) 满足：G(H(x))=F(x)。

可能看不懂，没有关系，看看就好。

在第一个、第三个问题中，我们枚举真实连通块方案中每一个连通块（即实际极大等价类）的无序集合划分，即 EGF 的 exp，应计入的次数 F 是 [x^S]exp(H(x))=[S 合法]，其中 H 是容斥系数。第一题中，S 合法当且仅当其大小（即等价类大小）为 1。第三题中 S 合法当且仅当它是独立集。修正常数项即可得到第一题 H(x)=ln(x+1)，第三题 H(x)=ln(?(x)+1)，其中 $?(x)=\sum_{S\ne\varnothing}[S \text{是独立集}]x^S$。