[BZOJ 3771]Triple（FFT+容斥原理）

Description

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

 

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

 

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Solution

比较容易能看出来是FFT，但是去重不太好处理

可以用三个多项式a,b,c分别表示一把斧头构成的多项式、两把相同的斧头构成的多项式、三把相同的斧头构成的多项式

于是取一把斧头就是 a

取两把斧头为 (a²-b)/2

取三把斧头为 (a³-a*b*3+2*c)/6 （在减去a*b*3时其实减了三遍c，所以要再加上两个）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 40000
#define pi acos(-1)
using namespace std;
int n;
struct cp
{
    double r,i;
    cp(double r=0,double i=0):r(r),i(i){}
    cp operator + (const cp& x) const
    {return cp(r+x.r,i+x.i);}
    cp operator - (const cp& x) const
    {return cp(r-x.r,i-x.i);}
    cp operator * (const cp& x) const
    {return cp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}a[MAXN*4],b[MAXN*4],c[MAXN*4];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(x=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void brc(cp* x,int len)
{
    int k=len/2;
    for(int i=1;i<len-1;i++)
    {
        if(i<k)swap(x[i],x[k]);
        int j=len/2;
        while(k>=j)
        {
            k-=j;
            j>>=1;
        }
        if(k<j)k+=j;
    }
}
void fft(cp* x,int len,int on)
{
    brc(x,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)
    {
        cp wn=cp(cos(2*on*pi/h),sin(2*on*pi/h));
        for(int i=0;i<len;i+=h)
        {
            cp w=cp(1,0);
            for(int j=i;j<i+h/2;j++)
            {
                cp u=x[j];
                cp t=w*x[j+h/2];
                x[j]=u+t;
                x[j+h/2]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if(on==-1)for(int i=0;i<len;i++)x[i].r/=len;
}
int main()
{
    n=read();int maxn=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=read();
        maxn=max(x,maxn);
        a[x].r++,b[x*2].r++,c[x*3].r++;
    }
    int len=1;
    while(len<maxn*3)len<<=1;
    fft(a,len,1),fft(b,len,1),fft(c,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
    a[i]=a[i]+(a[i]*a[i]-b[i])*cp(0.5,0)+(a[i]*a[i]*a[i]-a[i]*b[i]*cp(3,0)+c[i]*cp(2,0))*cp(1.0/6.0,0);
    fft(a,len,-1);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int x=(int)(a[i].r+0.1);
        if(x)printf("%d %d\n",i,x);
    }
    return 0;
}