浮点数

浮点数

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不同时间段写的，不同参考，词语翻译不一样，下列词语是等价的

规格数=规范数=正规数

非规格数=非规范数=次正规数

怎么表示

数学中的数

  • 数学中的数是怎么表示的，

    • 有两种方法，一种是普通计数如\(12345\)和\(123.45\)，还有一种是科学计数法，如\(1.2345\times10^4\)和\(1.2345\times10^{-2}\)

    • 维基

      科学记数法（英语：Scientific notation，英国则称为 Standard form），又称为科学记数法或科学记法，是一种数字的表示法。科学记数法最早由阿基米德提出。

  • 科学记数法有什么好处

    • 非常大数和非常小数表示时好处非常明显，可以很清晰看出量级和大小，如\(123450000000000000000=1.2345\times10^{20},0.00000000012345=1.2345\times10^{-10}\)

    • 当我们要表示非常大或非常小的数时，如果用一般的方法，将一个数的所有位数都写出来，会很难直接确知它的大小，还会浪费很多空间。但若使用科学记数法，一个数的数量级、精确度和数值都较容易看出，例如于化学里，以公克表示一个质子质量的数值为:0.00000000000000000000000167262158, 但如果将它转成科学记数法的形式，便可不需要写那么多零︰\(1.67262158\times 10^{-24}\)，又例如，若以公斤为表示单位，则木星的质量值约为：1898130000000000000000000000

      像这样的大数亦无法直接用列出所有位数的方式表达出精确度，但科学记数法就能用下方形式明白的表示出来：

      \(1.89813\times 10^{27}\)

计算机中的数

  • 计算机中的数也是类似，我们可以有多种存放方法，

    • 从这里开始下面就只讨论小数（浮点数）的存放方法

    • 比如0.00000000000000000000000167262158，可以先存数值本身即0 00000000000000000000000167262158，再存一个1表示小数点在哪，在第一个0的后面

    • 除了上面的存放方法还有其他存放方法，计算机发展初期对于小数还有各种各样的存法，各家制定各家规则的，互相不兼容，写程序还要写几套很麻烦，后来IEEE选择一个较好的制定成标准，以后大家都别各自搞各自的了，都按照这个来，这个标准就是IEEE754二进制浮点数算术标准

浮点表示对形如\(V=x\times 2^y\)的有理数进行编码。 它对执行涉及非常大的数字\((|V|>>0)\)、非常接近于\(0(|V|<<1)\)的数字， 以及更普遍地作为实数运算的近似值的计算， 是很有用的。
直到20世纪80年代， 每个计算机制造商都设计了自己的表示浮点数的规则， 以及对 浮点数执行运算的细节。 另外， 它们常常不会太多地关注运算的精确性，而把实现的速度 和简便性看得比数字梢确性更重要。
勹大约在1985年， 这些情况随看IEEE标准754的推出而改变了， 这是一个仔细制订的 表示浮点数及其运算的标准。 这项工作是从1976年开始由Intel赞助的， 与8087的设计 同时进行，8087是一种为8086处理器提供浮点支持的芯片。 他们请William Kahan(加州 大学伯克利分校的一位教授）作为顾问， 帮助设计未来处理器浮点标准。 他们支持Kahan 加入一个IEEE资助的制订工业标准的委员会。 这个委员会最终采纳的标准非常接近于 Kahan为Intel设计的标准。 目前， 实际上所有的计算机都支持这个后来被称为IEEE浮 点的标准。 这大大提高了科学应用程序在不同机器上的可移植性。

IEEE754转化过程

  • IEEE754存储浮点数有点类似于十进制的科学记数法表示数

存储在32位的float里面，其中符号一位，尾数23位，指数8位

31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
s=sign e=exponent(8 bits) f=fraction(23 bit)

规格数

\((-1)^{s} \ 10^{e-1111111}\times 1.f=(-1)^{s} \ 2^{e-127}\times 1.f\)

非规格数

\((-1)^{s} \ 10^{1-1111111}\times 0.f=(-1)^{s} \ 2^{1-127}\times 0.f\)

规格数(10.5存储为例)

下面以32位的float为例说明10.5的存储格式

规范化

转二进制
  • \(10.5_{(10)}=1010.1_{(2)}\)
转二为底的科学记数法形式

  • \(1010.1_{(2)}=1.0101_{(2)}\times2_{(10)}^{3_{(10)}}\)

  • \(3_{(10)}\)为指数

    • 为偏移前指数

  • \(1.0101_{(2)}\)为尾数

    • 必须保证尾数的第一位不是零，且小数点在第一位和第二位之间

      十进制第一位不是0可以是1-9，而二进制第一位不是零只能是1

性质符号填充

  • 最高位填充符号，正填充0，负填充1
  • 10.5是正数填充0
0
^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

尾数转化填充

隐藏高位1和点

  • \(1.0101\to 0101\)

    • 既然尾数第一位不能是0只能是1，大家都是1和点，也没有写的不要了都省略也行

低位补零

  • \(0101\to 0101 0000 0000 0000 0000 000\)

    • 补齐23位

填充尾数
  • 讲补齐后尾数填充在低23位上
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ all 0 ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

指数转化填充

偏移前的指数加偏移量

  • \(3_{(10)}+127_{(10)}=130_{(10)}\)

    • 在32位单精度类型中，这个偏移量是127

      在64位双精度类型中，偏移量是1023

偏移后的指数转二进制
  • \(130_{(10)}=1000 0010_{(2)}\)
填充指数
  • 讲补齐后尾数填充在性质符号位后的高8位上
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit) 
0   1000 0010   0101 0000 0000 0000 0000 000

测试结果

规格数读取(10.5为例子)

判断是不是规格数

  • 除了符号位的高八位不全为0或者1，是规格数

  • 为\(sign \ 2^{exponent}\times fraction\)形式

  • 看其除了符号位的高八位是不是都是0是不是都是1

    • 如果不都是0且不都是1，则规格化的数
    • 如果都是0，则为非规格化的数
    • 如果都是1
      • 如果后面低23位全为0，则为无穷大
      • 如果后面低23位不全为0，则为NaN，not a number
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit) 
0   1000 0010   0101 0000 0000 0000 0000 000

拆分符号位

  • 符号位为0为正的,代入式子

  • \(sign \ 2^{exponent}\times fraction=+ \ 2^{exponent}\times fraction\)

  • 最高位为，符号位0是正的，1是负的

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

拆分指数部分

读取指数部分

  • 1000 0010

    • 除了符号位的高八位

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)
指数部分转10进制偏移后指数
  • \(10000010_{(2)}\to 130_{(10)}\)
减去偏移量转偏移前指数
  • \(130_{(10)}-127_{(10)}=3_{(10)}\)
代入式子
  • \(+ \ 2_{(10)}^{exponent}\times fraction=+ \ 2_{(10)}^{3_{(10)}}\times fraction\)

拆分尾数部分

读取低23位
  • 0101 0000 0000 0000 0000 000
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)
去掉尾部0
  • 0101 0000 0000 0000 0000 000 => 0101
补充高位1和点
  • \(0101_{(2)}\to 1.0101_{(2)}\)
代入式子
  • \(+ \ 2_{(10)}^{3_{(10)}}\times 1.0101_{(2)}\)

转化成科学记数法或者普通形式

  • \(+ \ 2_{(10)}^{3_{(10)}}\times 1.0101_{(2)}=1010.1_{(2)}\)
  • \(1010.1_{(2)}=10.5_{(10)}\)

非规格数(二进制读取为例)

读取 0 0000 0000 0110 0000 0000 0000 0000 000 为例

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0... 0 0 0
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

判断是不是非规格数

  • 除符号位为的高八位全部为0，是非规格数
  • 也是\(sign \ 2^{exponent}\times fraction\)形式
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

读取符号位

  • 符号位为0，为正
  • \(+ \ 2^{exponent}\times fraction\)

代入指数

  • 非规格数指数固定为\(1-127_{(10)}=-126_{(10)}\)

    • 非规格数指数是 1-偏移量 （而不是\(0-127=-127\)）

      这是规定

      规格数指数才是 实际指数-偏移量

  • \(+ \ 2_{(10)}^{-126_{(10)}}\times fraction\)

读取代入尾数

读取尾数
  • 0110 0000 0000 0000 0000 000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)
去掉尾部0
  • \(0110 0000 0000 0000 0000 000_{(2)}\to011_{(2)}\)
补充0.

  • \(0110_{(2)}\to 0.011_{(2)}\)

    • 非规格数补充0.

      而规格数补充1.

代入式子
  • \(+ \ 2_{(10)}^{-126_{(10)}}\times fraction\to + \ 2_{(10)}^{-126_{(10)}}\times 0.011_{(2)}\)

转化成普通形式

  • \(+ \ 2_{(10)}^{-126_{(10)}}\times 0.011_{(2)}\to + \ 2_{(10)}^{-126_{(10)}}\times 0.375_{(10)}\to 4.408103815583578155e-39\)

注意用win10计算机算不出来，用手机计算机可以

测试结果

非规格数(写入是上面逆过程)

特殊数

  • 最后一类数值是当指阶码（指数部分）全为1 的时候出现的。
  • 当小数域全为0时， 得到的值表示无穷，
    • 当符号位为0时是正无穷 ,
    • 或者当符号位为1时是负无穷。
  • 当我们把两个非常大的数相乘， 或者除以零时， 无穷能够表示溢出的结果。
  • 当小数域为非零时， 结果值被称为"NaN", 即 “不是一个 数(Not a Number)" 的缩写。
    • 一些运箕的结果不能是实数或无穷， 就会返回这样的NaN 值，比如当计算\(\sqrt{-1}\)或\(\infty-\infty\)时。 在某些应用中，表示未初始化的数据时，它们也很有用处。
    • 这个不区分正负，都是NaN

无穷大

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
正无穷 ^ 都是1 ^ 都是0
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
负无穷 ^ 都是1 ^ 都是0
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

NaN

* 1 1 1 1 1 1 1 1 * * * * * * * * * * * *
NaN ^ 都是1 ^ *代表0或1都可以
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)

范围与精度

IEEE754

32位float

范围

影响因素

  • 主要由指数部分决定
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0... 0 0 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14~3 2 1 0
sign exponent(8 bits) fraction(23 bit)
#### 范围

下表中给出了重要的单精度存储格式位模式的示例。最大正正规数是以 IEEE 单精度格式表示的最大有限数。 最小正次正规数是以 IEEE 单精度格式表示的最小正数。最小正正规数通常称为下溢阈值。 （最大和最小正规数和次正规数的十进制值是近似的；对于所示的数字来说，它们是正确的。

公用名称 位模式（十六进制） 十进制值
+0 00000000 0.0
–0 80000000 –0.0
1 3f800000 1.0
2 40000000 2.0
最大正规数 7f7fffff \(3.40282347e+38\)
最小正正规数 00800000 \(1.17549435e–38=2^{-126}\)
最大次正规数 007fffff \(1.17549421e–38\)
最小正次正规数 00000001 \(1.40129846e–45\)
+∞ 7f800000 正无穷
–∞ ff800000 负无穷
非数字 7fc00000 NaN

NaN（Not a Number, 非数）可以用任何满足 NaN 定义的位模式表示。在上表中显示的 NaN 十六进制值只是可用于表示 NaN 的众多位模式之一。

公用名称 位模式（十六进制） 十进制值 备注
+∞ 7f800000 正无穷
NaN大于最大正规数且不为正无穷 由于存储表示非数字，就无法表示数
最大正规数 7f7fffff \(3.40282347e+38\)
eg 普通正的正规数 40000000 2.0 中间的数也不一是连续的，是离散的且涉及精度
最小正正规数 00800000 \(1.17549435e–38=2^{-126}\)
最大次正规数 007fffff \(1.17549421e–38\)
eg 普通的次正规数 0x00600000 \(8.81620763117e-39\) 非正规数有时候不归在float可表示的数里
最小正次正规数 00000001 \(1.40129846e–45\)
err 小于最小次正规数且大于正0 无穷小的数 无法表示的数
+0 00000000 0.0
–0 80000000 –0.0
err 小于0且大于最大次负规数 无穷小的数 无法表示的数
最大负次正规数 80000001 \(-1.40129846e–45\)
eg 普通的负次正规数 0x80600000 \(-8.81620763117e-39\)
最大次负正规数 807fffff \(-1.17549421e–38\)
最大负正规数 80800000 \(-1.17549435e–38=2^{-126}\)
eg 普通负的正规数 0xcc189680 \(-40000000.0\)
最小负正规数 ff7fffff \(-3.40282347e+38\)
NaN小于最小正规数且不为负无穷 0x80189680 \(-2.25804113503e-39\) 无法表示的数
–∞ ff800000 负无穷
  • 规格数，（正的负的都是）最大

  • 规格数，（正的）最小

  • 规格数，（负的）最大

  • 规格数，（正的负的都是）最小

  • 次规格数，（正的负的都是）最大

  • 次规格数，（正的）最小

  • 次规格数，（负的）最大

  • 次规格数，（正的负的都是）最小

精度

  • \(2^{23}=8388608\)

  • 这么多组合，可以表示这么多不同的数,8388608这个一个7位数，6位是准的，7位不一定准

同理64位，有1符号位，11指数位，52尾数位

\(2^{52}=4503 5996 2737 0496\)是一个16位数，至少保证15位数存储是准的，至少可能存储15位有效数字

误差

  • 十转二误差

    • 不是所有都可以表示为\(\sum_{i=1}^{n}[0|1]\times2^{N_i},(N_i\in \text{整数},n\neq\infty)\)

    • 如\(0.000110011001……\)存储时会截断存储产生误差

  • 不能准确存储下列

    • 存储无穷大

    • 和无穷小量(包括 自然数+无穷小量 形式)，

    • 即有限的空间本身就是只能存储有限的离散的点

  • 运算时产生无法准确存储的数据

参考

参考

测试

其他

posted @ 2020-10-20 22:08  Zander_Zhao  阅读(583)  评论(0)  编辑  收藏  举报