205.码制

1.定义

      计算机中的数是用二进制来表示。数的符号也是用二进制表示的。在机器中，把一个数连同其符号在内数值化表示的数成为机器数。机器数可以用不同的码制来表示，常用的有原码、补码、反码表示法。一般用最高有效位表示数的符号，正数用0表示，负数用1表示。

     原码由真值得来，真值（人理解的数 +3 -3 +1.5 -1.5）是一个变量本身所具有的真实值，是一个理想概念，一般无法得到。

 

2.原码

 2.1真值化原码

整数	+5D	-5D
1 取绝对值	[+5]真值→|+5|=5	[-5]真值→|-5|=5
2 化二进制	（5）10=（0101）2=0101B	（5）10=（0101）2=0101B
3 加正负号（此时位机器真值）	0101B加符号 → +0101B机器真值	0101B加符号 → -0101B机器真值
4 标准化 （符号位正为0负为1，尾数外中间补0）	+0101B=0 000 0101B	-0101B=1 000 0101B
	[+5]原码=0 000 0101B	[-5]原码=1 000 0101B

 

纯小数	+0.8125D	-0.8125D
1 取绝对值	|+0.8125|=0.8125	|-0.8125|=0.8125
2 化二进制	（0.8125）10=（0.1101）2=0.1101B	（0.8125）10=（0.1101）2=0.1101B
3 加正负号	0.1101B加符号 → +0.1101	0.1101B加符号 → -0.1101B机器真值
4 标准化 （符号位正为0负为1，右补足8位）	+0.1101B=0.1101 000B	-0.1101B=1.1101 000B
	[+0.8125]原码=0.1101 000B	[-0.8125]原码=1.1101 000B

 纯小数表示范围为（-1，1），所以8位0.1101 000B存储为0110 1000，并不会和0110 1000表示的整数冲突

 

3.反码

 正数 原码、反码、补码 一样

 负数 反码在原码基础上，符号位不变，其他位按位取反

整	正	[+5]反=[+5]补=[+5]原=0 000 0101B
	负	[-5]原=   1 000 0101 B	[-5]补=[-5]反+1=111 1011B                     末位加一
		符号位不变↓↓其余按位取反
		[-5]反=   1 111 1010 B
小	正	[+0.8125]反=[+0.8125]补=[+0.8125]原=0.1101 000 B
	负	[-0.8125]原=1.1101 000	[-0.8125]补=[-0.8125]反+0.000 0001 =1.001 0111+0.000 0001=1.001 1000
		符号位不变↓↓其余按位取反
		[-0.8125]反=1.0010 111

4.补码

4.1定义

补码表示法中，

正数采用 符号-绝对值 表示，即数的最高有效位为0表示正，数的其余部分则表示数的绝对值

机器字长8位：

[+1]_补 = 0 000 0001

[+127]_补 = 0 111 111

[+0]_补 = 0000 0000

补码表示负数，n位机器字长表示负数X为 2ⁿ-|X|

机器字长8位：

[-1]_补 = 2⁸-1 = 1 111 1111

[-127]_补 = 2⁸-127 = 1 000 0001

[-0]_补 = 2⁸-0 = 0000 0000

注意

补码表示法中0只有一种表示即 0000 0000

对于1000 0000，在补码表示法中被定义为  -128

8位	原码	反码	补码
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	1 0000 0000 cf=1
范围	-127D˜127D	-127D˜127D	-128D˜127D

8位可以表示28个不同的数，+0和-0补码都是0000 0000，空一个表示-128

 

4.2转化

正数

　　原码、反码、补码 一样

负数

　　法一：补码在反码基础上，末位加一 

整	正	[+5]反=[+5]补=[+5]原=0 000 0101B
	负	[-5]原=   1 000 0101 B	[-5]补=[-5]反+1=111 1011B                     末位加一
		符号位不变↓↓其余按位取反
		[-5]反=   1 111 1010 B
小	正	[+0.8125]反=[+0.8125]补=[+0.8125]原=0.1101 000 B
	负	[-0.8125]原=1.1101 000	[-0.8125]补=[-0.8125]反+0.000 0001 =1.001 0111+0.000 0001=1.001 1000
		符号位不变↓↓其余按位取反
		[-0.8125]反=1.0010 111

　　法二：对于一个正数的补码表示  按位求反后再在末位加一  可以得到与此正数相对于的负数的补码表示

	机器字长为8位	机器字长为16为
	-46D的补码	-117D的补码
1  先写出与该数相对应的 正数的补码表示（符号-绝对值法）	+46D的补码表示为 0010 1110	+117D的补码表示为 0000 0000 0111 0101
2  将其按位取反	1101 0001	1111 1111 1000 1010
3  在末位（最低位）加一	1101 0010	1111 1111 1000 1011
4  用十六进制表示	D       2	F       F       8      B
5  结果	[-46]补 = D2H	[-117]补 = FF8BH

 

4.3计算

4.3.1求补运算

定义

对于一个二进制数→按位求反→在末位加一  的运算称为求补运算

 

推理

补码表示的数具有以下特性：

　　[X]_补   求补得› [-X]_补  求补得›  [X]_补

	[117]补=0075H	[-117]补=FF8BH
对[-117]补 作求补运算	[-117]补为	1111 1111 1000 1011
	按位求反后得	0000 0000 0111 0100
	末位加一后得	0000 0000 0111 0101
	[-117]补为	0000 0000 0111 0101

4.3.2加减运算

补码的加法规则：

　　[X+Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补

补码的减法规则：

　　[X-Y]_补 = [X]_补 + [-Y]_补

其中[-Y]_补 只要对[Y]_补求补就可得到

　　[Y]_补  → 所以位按位取反 → 末位加一 → [-Y]_补 

十进制		二进制
	+25		0001 1001
+	+32	+	0010 0000
=	57	=	0011 1001
	+32		0010 0000
+	-25	+	1110 0111
=	7	=	0000 0111
			↓1
	-25		1110 0111
+	-32	+	1110 0000
=	-57	=	1100 0111
			↓1
	25		0001 1001
+	-32	+	1110 0000
=	-7	=	1111 1001

 

十进制		二进制
	25		0001 1001		0001 1001
-	32	-	0010 0000	+	1110 0000
=	-7	对减数求补换成加法		=	1111 1001
	-25		1110 0111		1110 0111
-	-32	-	1110 0000	+	0010 0000
=	7	对减数求补换成加法		=	0000 0111
					↓1

 

5.符号扩展

符号扩展是指一个数从位数较少扩展到位数较多（如从8为扩展到16位，或从16位扩展到32位）

补码表示数的符号扩展，对于补码表示的数，正数的符号扩展应该在前面补0，而负数扩展则应该在前面补1

机器字长为8位	[+46]补=                 0010 1110	[-46]补=                 1101 0010
扩展到16位	[+46]补= 0000 0000 0010 1110	[-46]补= 1111 1111 1101 0010

 

6.数的表示范围

6.1n位补码

一般来说n位补码表示的数的表示范围是 -2^n-1 ≤ N ≤ 2^n-1-1

8位二进制数可以表示28=256个数，当他们是补码表示带符号数时，他们表数范围为-128 ≤ N ≤ +127

n=16时的表数范围是-32768 ≤ N ≤ +32767

 

为了扩大表数范围，在机器里，可以用二个机器字（低位字和高位字）来表示一个机器数，这种数称为双字长数或双精度数，其中高位字的最高有效位为符号位。

机器字长为16位为例，高位字的低15位和整个低位字的16位联合组成31位数来表示数值，因而低位字的最高有效位没有符号意义只有数值意义，双字长数的表数范围可扩大到 -2³¹ ≤ N ≤ 2³¹-1

15	14              0	15                   0
符号	高位字	低位字
	补码值