10 有趣的概率

概率&期望

定义

　　概率：反映随机事件的可能性的大小，设$A$发生的集合为$T$，所有的情况为$S$，那么$A$发生的概率为$P\left( A \right) =\cfrac{\left| T \right|}{\left| S \right|}$。

　　期望：设每一个事件的概率为$P(x)$，其权值为$W(x)$，则事件的期望为$E(x)=\sum {P(x) \cdot W(x)}$。

定理

　　感觉好多是概率论的东西，然鹅我还没学，就先做着看吧(其实就是懒不想提前看了) 

　　·1.概率的另外一种计算公式

$$P\left( X=k \right) =P\left( X\ge k \right) -P\left( X>k \right) 
\\
=P\left( X>k-1 \right) -P\left( X>k \right) $$

　　·2.期望的线性性质

$$
E\left( X+Y \right) =E\left( X \right) +E\left( Y \right)
$$

　　·3.若$X$为一个正整数随机变量，那么：

$$
E\left( X \right) =\sum_{i=1}^{\infty}{P\left( X\ge i \right)}
$$

　　·4.事件$A$的发生概率为$P$，事件$A$第一次发生为第$X$次，那么$E\left( X \right) =\cfrac{1}{P}$

例题

简单计算1

　　题意：投$n$次骰子，求出现的最小的点数为$2$的概率。

　　应用定理$1$:

$$
P\left( X\ge 2 \right) =\left( \frac{5}{6} \right) ^n,P\left( X>2 \right) =\left( \frac{4}{6} \right) ^n
\\
P\left( X=2 \right) =\left( \frac{5}{6} \right) ^n-\left( \frac{4}{6} \right) ^n
$$

简单计算2

　　题意：随机一个$[1,n]$之间的数，问多少次才可以随机出所有的数。

　　分析：首先考虑一种情况：现在手里有$i$个数字，期望取多少次才可以取到第$i+1$个数字。取到剩下得数字的概率是$P= \cfrac{n-i}{n}$，由定理$4$可知$E_i=\cfrac{n}{n-i}$那么达到最终状态需要将之前的状态都经过一遍，也就是定理$3$，有$$E\left( X \right) =\sum_{i=1}^{n-1}{\cfrac{n}{i}}$$(求和符号里的形式变了是因为换了个表达)。

简单计算3

　　题意：随机一个$n$的排列，问$P[i]$是$1 \sim i$中最大值的概率是多少。

　　分析：因为全部都是随机得，所以$P[i]$等于该区间内最大得数的概率为$P=\cfrac{1}{i}$。

随机游走1

　　题意：给出一个长度为$n$的链条，每次等可能的走到左右某一边，问期望多少次可以从最左侧到达终点。

　　分析：类似于问题$2$，先考率为于第$i$个位置，那么到达第$i+1$个位置的概率是$\cfrac{1}{2}$，所以该情况的期望就是$2$。又一开始位于最左侧，该情况为期望为$1$，递推一下然后再求和那么答案就是$n^2$。

随机游走2

　　题意：给出一个含有$n$各点的完全图，每次随机的到达其任意一点，问从$1$到$n$期望需要多少次。

　　分析：其实更简单，就是一开始到达$n$的概率是$P=\cfrac{1}{n-1}$，那么期望就是$E(X)=n-1$。

硬币游戏

　　题意：给定$n$个硬币，每个硬币对应价值$w[i]$，每次随机拿出一个硬币，规定获得的价值为被拿走硬币左右侧价值的乘积，问获得的总价值的期望为多少。$1 \le n \le 2000,1 \le w[i] \le 10^9$。

　　分析：直接考虑怎么拿不方便，那就考虑获得价值的那两个硬币。可以套两层循环，那么对于$i$和$j$，如果取得是区间外部，是不可能得到这两个的价值；考虑在这个区间上(包括两头)，只有取走的是中间的$j-i-1$个数字才有可能是$i$和$j$在一起计算价值，而这个概率是：

$$
P=C_{j-i+1}^{j-i-1}=C_{j-i+1}^{2}=\frac{\left( j-i+1 \right) \left( j-i \right)}{2}
$$

　　故对于每一对的$i,j$他们贡献的期望价值就是：

$$
W_{ij}=w\left[ i \right] w\left[ j \right] \frac{1}{P_{ij}}=\frac{2w\left[ i \right] w\left[ j \right]}{\left( j-i+1 \right) \left( j-i \right)}
$$

　　枚举然后加起来就可以了。