数据结构复习笔记

数据结构

简单地梳理一下数据结构课程的主要内容

目录

• 数据结构
  • 绪论
  • 线性表
    • 顺序表
    • 链表
  • 栈和队列
    • 栈
    • 队列
    • 栈和队列应用
    • 数组、矩阵
  • 串
  • 树和二叉树
    • 树的基本概念
    • 二叉树
    • 树和森林
    • 树的应用
  • 图
    • 存储结构
    • 遍历
    • 应用
  • 查找
    • 线性结构
    • 树形结构（略）
    • 散列结构
  • 排序
    • 算法描述
    • 排序算法的比较

绪论

• 数据结构三要素
  • 逻辑结构
    • 线性结构：一般线性结构、栈、队列、数组、广义表
    • 非线性结构：集合、树形结构、图状结构
  • 存储（物理）结构
    • 顺序存储
    • 链式存储
    • 索引存储
    • 散列存储
  • 数据的运算
• 算法评估
  • 时间复杂度：基本运算的频度
  • 空间复杂度

线性表

• 顺序存储：顺序表
• 链式存储：
  • 单链表（指针）
  • 双链表（指针）
  • 循环链表（指针）
  • 静态链表（借助数组实现）

顺序表

• 定义
• 基本操作
  • 插入：平均移动 n/2 复杂度O(n)
  • 删除：好1 坏n 平均 (n-1)/2
  • 查找：平均 (n+1)/2
• 常考问题：
  • 就地逆置
  • 扫描的同时移动
  • 两表归并
  • 二分查找
  • 分区间反转

链表

• 定义：空间分配、头结点
• 基本单链表
  • 建表：头插法、尾插法
  • 插入、删除
  • 查找：按序号，按值
• 双链表：前后双指针
• 循环链表：头尾相连
• 静态链表 数组，每个元素包含当前值和下一个元素下标

栈和队列

• 操作受限线性表
  • 栈：顺序栈、链栈、共享栈
  • 队列：循环队列、链式队列、双端队列
• 推广：
  • 一维数组
  • 多维数组：压缩存储、稀疏矩阵
  • 广义表

栈

• 定义：栈顶、栈底、空栈
• 基本操作：初始化、判空、进出、取顶、销毁
• 顺序栈：数组、栈顶指针
• 共享栈：仅两个栈顶指针相邻时满，降低上溢发生的概率
• 链栈：不存在上溢

队列

• 定义：队头、队尾
• 基本操作：初始化、判空、出入、读队头
• 具体实现
  • 顺序存储：假溢出
  • 循环队列：顺序+取模
  • 链式存储
  • 双端队列：输入受限、输出受限 两端可以X仅一端可以Y

栈和队列应用

• 括号匹配
• 表达式求值：前缀 中缀 后缀转换
• 递归
• 合法序列
• 回文 字符串中心对称
• 判空 满 top=0 or -1两种情况
• 括号匹配
• 层次遍历

数组、矩阵

• 数组：行优先、列优先
• 压损存储：
  • 对称矩阵
  • 三角矩阵
  • 三对角矩阵
  • 稀疏矩阵：三元组

串

• 定义：字符组成的有限序列
• 存储：定长、堆分配、块链存储
• 基本操作：赋值、复制、判空、比较、连接....
• 模式匹配：
  • 暴力匹配法
  • KMP算法 next数组求解

树和二叉树

树的基本概念

• 根节点，前驱节点，后继结点，
• 双亲结点，孩子结点，子孙节点，祖先结点，
• 分支节点，叶子结点
• 层次，深度，高度
• 有序树，无序树（左右结点有无区分）
• 路径，路径长度，带权路径长度（所有节点）
• 森林
• 性质
  • 结点数(n) = 结点的度数(i x ni) + 1
  • 度为m的树i层上最多 m^(i-1)个结点
  • 高度为h的m叉树至多有(m^h -1)/(m-1)个结点

二叉树

• 定义
• 特殊的二叉树
  • 满二叉树：树中每层含最多结点
  • 完全二叉树：i<=int(n/2) 分支节点 其余为叶子结点 至多有1个度为1的结点
  • 二叉排序树：空树or二叉树且关键字 左<根<右
  • 平衡二叉树：左右子树高度差不超过1的二叉排序树
• 性质
  • 叶子结点树等于度为2的结点数+1 n0 = n2 + 1
  • 第k层上最多2^(k-1)个结点
  • 高度为h的二叉树上最多有2^h - 1个结点
  • 完全二叉树 编号1开始 任意结点i 左子2i 右子2i+1
  • 完全二叉树 i结点 层次 int(log2i) +1
  • n个结点完全二叉树高度 int(log2(n)) + 1
• 存储结构
  • 顺序存储 自上而下由左至右编号 存在数组中
  • 链式存储 data left right
• 二叉树的遍历
  • 先序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
  • 递归算法与非递归算法的转换
  • 层序遍历
  • 通过遍历构造二叉树：先中，后中，层中；仅先后序无法确定
• 线索二叉树
  • data, left, right, lflag, rflag
  • flag标记指的是子孙结点还是前驱（左） 后继（右）
  • 根据前驱后继又分 前中后序线索二叉树

树和森林

• 树的存储结构（树结点孩子个数不固定，无先后顺序）
  • 双亲表示法：数组or链表 每个结点 data paren
  • 孩子表示法：数组 data child链
  • 孩子兄弟表示法：左孩子右兄弟
• 树、森林与二叉树的转换
  • 树->二叉：左孩子右兄弟
  • 森林->二叉：每个树转二叉树，第一棵树作为转换后的根，二三四相继接在根的右侧
  • 二叉树->森林：先转成二叉树森林，再转树森林
• 树和森林的遍历
  • 树
    • 先根遍历 该树对应的二叉树先序遍历
    • 后根遍历 该树对应的二叉树层次遍历
  • 森林
    • 先序遍历
    • 中序遍历

树的应用

• 并查集，操作：并，查，初始化，常用双亲表示法+数组
• 二叉排序树
  • 定义， 中序遍历为递增有序序列
  • 查找，取决于树形
  • 插入，构造，删除
• 平衡二叉树
  • 定义
  • 插入，调整 LL，RR，LR，RL
  • 查找，平均logn
• 哈夫曼树、哈夫曼编码
  • 树的带权路径长度 = 所有叶节点带权路径长度之和
  • 使得 ↑ 最小的树
  • 构造：小的相结合
  • 二进制编码：树根开始左0 右1，前缀编码

图

• 定义，顶点集V，边集E
• 有向图、无向图
• 简单图，多重图：重复边，回到自身的边
• 完全图：任意两个结点之间存在边
  • n顶点无向 n(n-1)/2
  • 有向 n(n-1)
• 子图
• 连通图，连通分量
• 强连通图，强连通分量： 有向图
• 生成树，生成森林：包含所有顶点的极小连通子图；多个子图组成森林
• 顶点的度，入度，出度
• 边的权
• 稠密图，稀疏图
• 路径，路径长，贿赂

存储结构

• 邻接矩阵：
  • 顶点表，边表（邻接矩阵） N*N
  • 适合存储稠密图
• 邻接表法：
  • 顶点表：data，firstarc 第一个出边
  • 边表：adjvex, nextarc 邻接点，下一边
  • 适合存储稀疏图
• 十字链表法
  • 有向图适用
  • 顶点结点 出边链，入边链
  • 弧结点 头，尾，下一指同头的弧，下一条指同尾的弧
• 邻接多重表
  • 无向图
  • 与十字链表类似 顶点结点仅1个边链

遍历

• 深度优先搜索 DFS
  • 递归 栈空间 O(V)
  • 邻接表 O(E + V)
  • 邻接矩阵 O(V^2) 查早每个顶点的邻接结点
  • 类似二叉树先序遍历
• 广度优先搜索 BFS
  • 辅助队列 空间 O(V)最坏
  • 邻接表 O(V + E)
  • 邻接矩阵 O(V^2)
• 图的遍历与连通性
  • 无向图：连通则一次遍历到所有点
  • 有向图：仅能判断是否强连通

应用

• 最小生成树
  • 权值之和最小，不唯一
  • Prim：选顶点开始，依次添加距离S集合最近的S外结点 类似dijkstra; 适合稠密图 O(V^2)
  • Kruskal：依次选不构成回路的最小边，添加进集合S；适合稀疏图 O(ElogE)
• 最短路径
  • Dijkstra：
    • 单源最短路径
    • 依次添加距离源点最近的结点，更新源点到其他各点的最短长度
    • path数组记录前驱节点用于溯源
    • 稀疏图 O(V^2)
  • Floyd：
    • 计算各顶点间的最短路径；
    • 方阵序列，依次在路径中加入新点，更新各点距离
    • 用辅助矩阵path记录路径
    • 稠密图 O(V^3) 比V次dijkstra高效 加上的额外因子小
• 关键路径
  • AOE网
  • 关键路径、关键活动 （减少这些时间可加快整体速度）
  • 事件V 最早最迟发生时间
  • 活动E 最早最迟开始时间
• 拓扑排序
  • 有向无环图 DAG图
  • AOV网 顶点活动 边关系 先后关系
  • 拓扑排序产生序列依次消解
  • 可判断是否有环

查找

评价指标：平均查找长度ASL 成功和失败

线性结构

• 顺序查找
  • 哨兵
  • 成功 (n+1)/2, 失败 n + 1
  • 有序时，可降低失败的平均查找长度 n/2 + n/(n+1)
• 折半查找
  • 有序顺序表
  • low，high，mid
  • 成功 log(n+1) - 1
  • 失败看具体情况计算ASL
• 分块查找
  • 顺序查找+折半查找
  • 块间有序，块内无序
  • n 分 b块 每块s
  • s = √n 时候中最高效

树形结构（略）

• B树
• B+树

散列结构

• 散列函数，散列表
• 散列函数构造
  • 直接定址法
  • 除留余数法
  • 数字分析法
  • 平方取余法
  • 折叠法
• 冲突处理
  • 开放定址法：线性探测、平方探测法、再散列法
  • 拉链法
• 性能分析 装填因子：记录数/散列表长度

排序

• 排序的稳定性：相等大的元素排序后的相对位置变化与否
• 衡量标准：时空复杂度

算法描述

• 内部排序
  • 插入排序
    • 直接插入：有序|无序 两个区域，无序区域元素直接插入有序区域，边判断边移动
    • 折半插入：在直接插入的基础上通过折半查找插入位置，找到位置后统一移动元素
    • 希尔排序：用步长将表分为几个子表，在子表内直接插入排序，缩小步长继续排序 e.g. 步长 n/2, n/2/2
  • 交换排序
    • 冒泡排序：从后往前，两两比较交换，一趟排序没有交换即完成。
    • 快速排序：划分操作（左右比较向中移动找枢轴），一次确定一个元素的最终位置，左右递归排序。时间效率与是否平均划分有关。
  • 选择排序
    • 简单选择排序：每一趟排序选取一个无序区域最小元素和无序区第一个元素交换
    • 堆排序：大根堆小根堆，
      • 建堆 从最后一个有孩子的结点开始向上调整O(n)
      • 删除 头尾交换，向下调整
      • 插入 插入末端向上调整
      • 排序 建堆 进行n-1次删除操作 O(n) + (n-1) * O(logn) O(nlogn)
  • 归并排序：由小到大前后两个子表归并
  • 基数排序：多次分配、收集
• 外部排序：多路归并排序

排序算法的比较

算法名	时间复杂度	空间复杂度	稳定性	表的条件	备注
直接插入排序	好O(n); 坏,平均O(n^2)	O(1)	稳定
希尔排序	O(n^3/2)	O(1)	不稳定	仅顺序存储
冒泡排序	好O(n); 坏,平均O(n^2)	O(1)	稳定		有序子序列全局有序
快速排序	坏O(n^2); 好,平均O(nlogn)	O(logn)	不稳定	皆可，实现有差异	坏：基本有序
简单选择排序	O(n^2)	O(1)	不稳定
堆排序	O(nlogn)	O(1)	不稳定
归并排序	O(nlogn)	O(n)	稳定
基数排序	O(d+r)	O(r)	稳定	d:分配数 r:队列数