2024厦门大学数学夏令营考核试题

2024 厦门大学数学夏令营考核真题

July 27, 2024 公众号：就数分高代

分析方向

一.(10分) 若 $\displaystyle f\in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {dx} = {\int }_{a}^{b}{xf}\left( x\right) {dx} = 0$ ,则 $\left( {a,b}\right)$ 上至少存在不同的 ${x}_{1},{x}_{2}$ 两点,使得 $f\left( {x}_{1}\right) = f\left( {x}_{2}\right) = 0$ .

二.(10分）若 $f \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,f\left( a\right) = 0$ ,证明

$${\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) {dx} \leq \frac{{\left( b - a\right) }^{2}}{2}{\int }_{a}^{a}{\left\lbrack {f}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}{dx} - \frac{1}{2}{\int }_{a}^{b}{\left\lbrack {f}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}{\left( x - a\right) }^{2}{dx}$$

三.(10分）若 $f \in {C}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 0,\left| {{f'' }\left( x\right) }\right| \leq \left| {f\left( x\right) - f\left( 0\right) }\right|$ ,求证: $f$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上为常值函数.

四.(10分） $\sum {a}_{n}$ 收敛 $\left( {{a}_{n}> 0}\right)$, $,0< \alpha ,\beta <1$; $1<\alpha + \beta$ ,证明下列级数收敛

$$\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}^{\alpha }}{{n}^{\beta }}$$

五.(10分） (实变): $f \in {L}^{1}\left( R\right) ,\sum {a}_{n}$ 收敛 $\left( {{a}_{n}> 0}\right)$,试证明

$$\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( \frac{x}{{a}_{n}}\right) = 0\text{,a.e. }x \in R$$

代数方向

一.(15分) $A \in {K}^{m \times s}$ 矩阵, $B \in {K}^{s \times n},r\left( B\right) = s$ ,求证:

(1) $\exists C,s.t.{BC} = E,\mathrm{E}$ 为 $s \times s$ 单位方阵.

(2) $r\left( {AB}\right) = r\left( A\right)$

二.(15分) 若 $A$ 为 3 阶方阵, $\det A = {18},{3A} + {A}^{ * } = {15}{E}_{n}$ .

(1). 求 $\mathrm{A}$ 的极小多项式

(2). 求 $\mathrm{A}$ 的 $Jordan$ 标准型

三.(10分) 已知 $\dim V = n,\varphi : V \rightarrow V,{\varphi }^{n} = 0,{\varphi }^{n - 1} \neq 0$ 求证:

(1). $\exists \alpha \in V$ ,s.t. $\alpha ,\varphi \left( \alpha \right) ,\ldots ,{\varphi }^{n - 1}\left( \alpha \right)$ 是 $V$ 中的一组基.

(2). $V$ 不能表示为 $\varphi$ 两个不变子空间直和.

四.(10分) (抽代): 求 $R$ 的自同构群.