国防科技大学2021数学分析与高等代数试题及参考解答

国防科技大学2021年数学分析与高等代数试题部分

转置人家 公众号：就数分高代

第一部分：数学分析

一.求$\displaystyle y=\frac{x^2+1}{x-1}$的渐近线.
二.计算下列极限.
1.$\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{x^2}$.
2.$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+a^{2n}+\cos^2{n}}$.
三.已知$f(x)=x^5\arctan x$,求$f^n(0)$.
四.求曲面$z=\sqrt{2+x^2+4y^2}$到平面$x-2y+3z=1$的最近点.
五.求三重积分

$$\iiint\limits_{\Omega}(xy+2z) \, \mathrm{d}V.$$

其中$\Omega:x^2+y^2=z^2$锥体的上半部分和$x^2+y^2+z^2=4$所围的立体.
六.已知函数$f(x)$在$R$上有界且二次可导,证明：存在$\xi \in R$,使得$f''(\xi)=0$.

第二部分：高等代数

七.已知$A,B$为$3$阶方阵,求$A^{-1}BA=6A+BA$,其中$\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\\ \end{array} \right)$,
求$B$.
八.已知$\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 1 & b & 1\\ b & a & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)$和$\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ \end{array} \right)$相似，求$a$和$b$,的值.
九.已知$A,B$为$n$阶实正交矩阵,且$\lvert A \rvert \ne \lvert B \rvert$,证明$A+B$不可逆.
十.
1.已知$n$阶矩阵$A$,满足$A^2=A$,证明$A$与对角阵

$$\mathbf{C}=\left (\begin{array}{cccccc} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \\ \end{array} \right)$$

相似.
2.已知知$n$阶矩阵$A,B$,满足$A^2=A,B^2=B,AB=BA$,证明：存在知$n$阶矩阵$P$,使得$P^(-1)AP$与$P^(-1)BP$都为对角矩阵，且对角线元素为$0$或$1$.

国防科技大学2021年数学分析与高等代数参考解答部分

转置人家 公众号：Math工作室

第一部分：数学分析

一.求$\displaystyle y=\frac{x^2+1}{x-1}$的渐近线.
Solution:
二.计算下列极限.
1.$\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{x^2}$.
Solution:由洛必达法则及$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$得到
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(\cos x)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{-1}{2\cos x}=-\frac{1}{2}$.
可知原极限$\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^\frac{1}{x^2}=e^{-\frac{1}{2}}$.
2.$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+a^{2n}+\cos^2{n}}$.
三.已知$f(x)=x^5\arctan x$,求$f^n(0)$.
四.求曲面$z=\sqrt{2+x^2+4y^2}$到平面$x-2y+3z=1$的最近点.
五.求三重积分

$$\iiint\limits_{\Omega}(xy+2z) \, \mathrm{d}V.$$

其中$\Omega:x^2+y^2=z^2$锥体的上半部分和$x^2+y^2+z^2=4$所围的立体.
六.已知函数$f(x)$在$R$上有界且二次可导,证明：存在$\xi \in R$,使得$f''(\xi)=0$.

第二部分：高等代数

七.已知$A,B$为$3$阶方阵,求$A^{-1}BA=6A+BA$,其中$\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\\ \end{array} \right)$,
求$B$.
八.已知$\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 1 & b & 1\\ b & a & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)$和$\mathbf{A}=\left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ \end{array} \right)$相似，求$a$和$b$,的值.
九.已知$A,B$为$n$阶实正交矩阵,且$\lvert A \rvert \ne \lvert B \rvert$,证明$A+B$不可逆.
十.
1.已知$n$阶矩阵$A$,满足$A^2=A$,证明$A$与对角阵

$$\mathbf{C}=\left (\begin{array}{cccccc} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \\ \end{array} \right)$$

相似.
2.已知知$n$阶矩阵$A,B$,满足$A^2=A,B^2=B,AB=BA$,证明：存在知$n$阶矩阵$P$,使得$P^(-1)AP$与$P^(-1)BP$都为对角矩阵，且对角线元素为$0$或$1$.