【数据结构】 堆（二叉堆）详解

定义：

堆的底层数据结构是树，一般不引起歧义的情况下，堆指的是二叉堆，其底层数据结构是完全二叉树，堆分为大根堆和小根堆，大根堆的每个节点的父亲都大于当前节点，小根堆反之，本文以小根堆为例

二叉堆插入

思路：将要插入的树放在数组最后，令数组原来的大小为 \(size\) ，堆数组的名为 \(heap\) ，则 \(heap[++size]=x\) ，其中 \(x\) 为要插入的数字，之后将插入的数字不断向上调整即可（如图）

CODE:

void put(int x){
	heap[++size]=x;
	int now=size;
	while (now>1&&heap[now/2]>heap[now]){
		swap(heap[now/2],heap[now]);
		now/=2;
	}
}

时间复杂度： \(O(\log n)\)

二叉堆删除

思路：将要删除的元素与最后一个元素交换，同时 \(size--\) ，再将这个位置的树向下调整
CODE:

void del(int idx){
	swap(heap[size],heap[idx]);
	size--;
	while (idx*2<=size){
		int t=idx;
		idx*=2;
		if (idx+1<=size&&heap[idx]>heap[idx+1]) idx++;
		if (heap[idx]>=heap[t]) return ;
		swap(heap[t],heap[idx]);
	}
}

时间复杂度： \(O(\log n)\)

例题

[NOIP2004 提高组] 合并果子
例题代码：

点击查看代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
int n,heap[10005],size,ans;
 
void put(int x){
	heap[++size]=x;
	int now=size;
	while (now>1&&heap[now/2]>heap[now]){
		swap(heap[now/2],heap[now]);
		now/=2;
	}
}
 
void del(int idx){
	swap(heap[size],heap[idx]);
	size--;
	while (idx*2<=size){
		int t=idx;
		idx*=2;
		if (idx+1<=size&&heap[idx]>heap[idx+1]) idx++;
		if (heap[idx]>=heap[t]) return ;
		swap(heap[t],heap[idx]);
	}
}
 
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		int tmp;
		scanf("%d",&tmp);
		put(tmp);
	}
	for (int i=1;i<n;i++){
		int a=heap[1];
		del(1);
		int b=heap[1];
		del(1);
		put(a+b);
		ans+=a+b;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}