[CSP-S 2024] 染色 题解

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[CSP-S 2024] 染色

题解

这是一道线性 \(dp\) 问题，难点在于在具体的题目背景中抽象出实际问题，最难的地方是分类讨论。
根据题目的意思，如果第 \(i\) 位数字（\(a_{i}\)）的颜色和第 \(i\) 位之前的数字（\(a_{[1,i]}\)）的颜色都不同，则这个数字贡献为 \(0\)，接着，如果前面有相同的颜色，再如果离第 \(i\) 位最近的相同颜色的数字和第 \(i\) 数字相同，则第 \(i\) 位数字贡献为 \(a_{i}\)。我们只讨论这个数可以有贡献时的情况，当这个数无论如何也无法贡献时不进行讨论，我们用结构体存 \(a_{i}\) 这个数字在之前出现过的位置的下标以及这个数字本身：

struct num{
    ll n,last;
}a[2000005];

当 \(a_{i}\) 在之前没有出现过时，后文用 \(a_{i}(last)\) 表示 \(a_{i}\) 这个数字在之前出现过的位置的下标，\(a_{i}(last)=0\) ，接下来讨论以下情况

• 两个相同的数相邻（\(a_{i}=a_{i-1}\)），这样的两个数，只要颜色相同，无论如何都会产生贡献，但是对后续有影响（请先看下文）
• 两个相同数不相邻，存在 \(i>j\)，\(a_{i}=a_{j}\) ,那么要想让 \(a_{i}\) 产生贡献，\(a_{[i+1,j-1]}\) 区间内的数字必须是同一颜色且和 \(a_{i} \ ,\ a_{j}\) 的颜色不同，那么对于 \(a_{[i+1,j-1]}\) 内的数字，如果存在两个相同的数，但这两个数又不相邻，它们的贡献就没有了。
• 两组相同的数交叉，如果想让两组数都产生贡献，必须满足下列状态：

x,...,y,x,...,y

如果是下面这种状态，只能使其中一组产生贡献：

x,...,y,...,x,...,y

经过上面的分类讨论后，我们设 \(f_{i,j=0/1}\) 表示对于前 \(i\) 个数字，当 \(j=0\)，表示第 \(i\) 个数字与第 \(a_{i}(last)\) 不产生贡献时的最优解，当 \(j=1\) 时，表示第 \(i\) 个数字与第 \(a_{i}(last)\) 产生贡献时的最优解。如果两个数字既相邻又相同，要把他们的贡献算进最后的答案里，但是在表示状态时，必须表示成没有产生贡献的状态。如果出现交叉情况，直接访问 \(a_{i}(last)\) 和 \(a_{i}(last)+1\) 两个位置上的数值即可。易得到状态转移方程式：

• 普遍情况：
  \( f_{i,0}=\max (f_{i-1,1}\ ,\ f_{i-1,0}) \)
  \( f_{i,1}=\max (f_{a_{i}(last),1}\ ,\ f_{{a_{i}(last)},0} \ ,\ f_{a_{i}(last)+1,1}\ ,\ f_{{a_{i}(last)+1},0})+a_{i} \)
• 出现相邻两数的情况时：
  \( f_{i,0}=\max (f_{i-1,1}\ ,\ f_{i-1,0}) \)
  \( f_{i,1}=f_{i,0} \)
  将所有出现过的相邻相同两数加在一起，记为 \(anstmp\) ，最终答案就是 \(\max(f_{n,0} \ ,\ f_{n,1}) \ + \ anstmp\)

CODE

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
 
ll t,anstmp;
ll dp[2000005][2];
ll lst[2000005];
 
struct num{
    ll n,last;
}a[2000005];
 
int main(){
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while (t--){
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(lst,0,sizeof(lst));
        anstmp=0;
        for (ll i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i].n);
            if (lst[a[i].n]) a[i].last=lst[a[i].n];
            else a[i].last=0;
            lst[a[i].n]=i;
            if (a[i-1].n==a[i].n) anstmp=anstmp+a[i].n;
        }
        for (ll i=1;i<=n;i++){
            if (a[i].n==a[i-1].n){
                dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]);
                dp[i][1]=dp[i-1][1];
                continue;
            }
            else dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]);
            if (a[i].last) dp[i][1]=max(max(dp[a[i].last][0],dp[a[i].last][1]),max(dp[a[i].last+1][0],dp[a[i].last+1][1]))+a[i].n;
        }
        printf("%lld\n",max(dp[n][0],dp[n][1])+anstmp);
    }
    return 0;
}