CodeVS第四次月赛解题报告

1.   奶牛的身高

题目描述 Description

奶牛们在FJ的养育下茁壮成长。这天，FJ给了奶牛Bessie一个任务，去看看每个奶牛场中若干只奶牛的身高，由于Bessie是只奶牛，无法直接看出第i只奶牛的身高，而只能看出第i只奶牛与第j只奶牛的身高差，其中第i只奶牛与第j只奶牛的身高差为Ai(i<=n)。当A大于0时表示这只奶牛比前一只奶牛高A cm，小于0时则是低。现在，FJ让Bessie总共去看了m次身高，当然也就传回给FJ m对奶牛的身高差，但是Bessie毕竟是奶牛，有时候眼睛可能会不好使……(大雾)你的任务是帮助FJ来判断是不是需要给Bessie看看眼睛了……

注:Hj-Hi=A 注意T1的样例 注意注意注意 重要的事情说三遍。

 

输入描述 Input Description

第一行为一个正整数w,表示有w组数据，即w个奶牛场，需要你判断。每组数据的第一行为两个正整数n和m，分别表示对应的奶牛场中的奶牛只数以及看了多少个对奶牛身高差。接下来的m行表示Bessie看m次后传回给FJ的m条信息，每条信息占一行，有三个整数s,t和v，表示第s只奶牛与第t只奶牛的身高差为v。

 

输出描述 Output Description

包含w行，每行是”Bessie’s eyes are good”或”Bessie is blind.”(不含双引号)，其中第i行为”Bessie’s eyes are good”当且仅当第i组数据，即无法从第i个奶牛场传回的身高差判断Bessie视力好不好；第i行为”Bessie is blind.”当且仅当第i组数据，即从第i个奶牛场传回的身高差是有问题的。

 

样例输入 Sample Input

2

3 3

1 3 10

2 3 5

1 2 5

4 3

1 4 100

3 4 50

1 3 100

 

样例输出 Sample Output

Bessie’s eyes are good

Bessie is blind.

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于30%的数据，保证n<=100,m<=1000;

对于100%的数据，保证w<=100,n<=1000,m<=30000,|A|<=30000.

 

解题报告 Solution

可以说是比较经典的边带权并查集题目。

如果这道题限制|A|>0就可以用拓扑排序做了，然而既然没有限制，就要转变思路。

设g[x]代表fa[x]与x的身高差（即H[fa[x]]-H[x]），对于一条信息（u, v, w)，若u和v不在一个集合，则将两个集合合并，更新g。如果不在一个集合的话，判定是否与以前的冲突（冲突可以理解为有(H[a]-H[k])+(H[k]-H[b])≠H[a]-H[b]），那么就是无解。

更新g和上面的判断都用到了方程做和，具体请看代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;

//variable//
int n,m,fa[10010],g[10010];

//function prototype//
int getfa(int);

//solve//
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i,g[i]=0;
        bool flag=true;
        while (m--){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            int fu=getfa(u),fv=getfa(v);
            if (fu!=fv){
                fa[fu]=fv;
                g[fu]=g[v]-g[u]+w;
            }else{
                if (w!=g[u]-g[v]){
                    if (flag) puts("Bessie is blind.");
                    flag=false;
                }
            }
        }
        if (flag) puts("Bessie's eyes are good");
    }
    return 0;
}

int getfa(int x){
    if (fa[x]==x) return x;
    int f=fa[x];
    fa[x]=getfa(fa[x]);
    g[x]+=g[f];
    return fa[x];
}

2.   奇特的生物

题目描述 Description

科学家们最近发现了一种奇怪的生物,它们每天长大一岁,刚出生的宝宝为1岁,且它们的年龄没有上限。已知年龄为1岁,2岁,3岁,……,k岁的个体具有生育能力,当年龄为i的具有生育能力的个体将长大一岁时会生下ai个1岁的幼崽。假设第一天只有一个年龄为1的幼崽,现在科学家们想知道第x天年龄为y的个体有多少,但由于该物种增长速度太快,于是他们将这个任务交给了你。由于这个数可能很大,你需要对p取模。

 

输入描述 Input Description

输入数据第一行给定四个整数k,x,y,p。

第二行包括k个整数,第i个整数代表ai。

 

输出描述 Output Description

输出数据包含一行,表示第x天年龄为y的个体的数量对p取模后的结果。

 

样例输入 Sample Input

【样例输入 1】

3 3 1 1007

1 1 1

【样例输入 2】

3 6 2 1007

1 2 1

 

样例输出 Sample Output

【样例输出1】

2

【样例输出 2】

13

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

0<=x<=10¹⁴, 0<=y<=10¹⁴, 1<=p<=10¹², 1<=k<=10, 1<=ai<=100

 

解题报告 Solution

一次递推式快速幂矩阵乘法。

因为最大数据的p<=10¹²，所以涉及乘法的地方把一个大数拆分。

自己看码吧。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

//variable//
typedef unsigned long long ull;
int k;
ull a[10]={0},f[10][10],x,y,p;

//function prototype//
ull dminus(ull,ull);

//solve//
int main(){
    scanf("%d%lld%lld%lld",&k,&x,&y,&p);
    for (int i=0;i<k;++i) scanf("%lld",f[i]);
    if (x<y){
        puts("0");
        return 0;
    }
    a[0]=1;
    for (int i=1;i<k;++i) f[i-1][i]=1;
    x-=y;
    while (x){
        if (x&1){
            ull b[10]={0};
            for (int i=0;i<k;++i)
                for (int j=0;j<k;++j)
                    b[j]=(b[j]+dminus(a[i],f[i][j]))%p;
            memcpy(a,b,sizeof b);
        }
        x>>=1;
        ull b[10][10]={0};
        for (int i=0;i<k;++i)
            for (int j=0;j<k;++j)
                for (int l=0;l<k;++l)
                    b[i][j]=(b[i][j]+dminus(f[i][l],f[l][j]))%p;
        memcpy(f,b,sizeof b);
    }
    cout<<a[0]<<endl;
}

ull dminus(ull a,ull b){
    ull x=a/1000000,y=a%1000000;
    return ((x*b)%p*(1000000llu%p)+(y*b)%p)%p;
}

1. 1.   NTT

题目描述 Description

经历过大战之后的 tty,传说中的 Long'Aotian 职阶的骑士,开始研究数学。

他定义数列 fi ,这个数列的第 i 项,即 fi 表示不大于 i 且与 i 的互质的数的个数。例如 f1 = 1 , f3 = 2 , f6 = 2 , f18 = 6

他还定义了一种奇特的数学关系:对于正整数 m, n,如果 2^m -1 | 2ⁿ - 1,并且 m 能被至少一个大于 1 完全平方数整除,就称 m 是 n 的“可协调数”。

现在对于给定的 n,他希望你求出 sum (fm) (m 是 n 的“可协调数”)。

注意有多组数据。sum (fm)为fm的和

 

输入描述 Input Description

第 1 行,一个正整数 T 表示数据组数。

接下来 T 行,每行一组数据,只包含一个正整数 n.

 

输出描述 Output Description

输出文件应包含 T行。

对于每组数据,输出 1行,表示你的答案。

 

样例输入 Sample Input

3

7

8

9

 

样例输出 Sample Output

0

6

6

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例解释】

7没有“可协调数”，答案为0。

8可协调数为4、8，而f4=2，f8=4，答案为f4+f8=6

9的可协调数为9，f9=6，答案为6。

【数据范围】

T=5，n<=10¹⁸

 

解题报告 Solution

首先fi其实就是欧拉函数。2^m -1 | 2ⁿ - 1⇔ m|n。

有一个重要性质：∑_d|nφ(d)=n。但是这并不是答案，因为一些非平方数约数的d被计算了进来。所以我们要减去它们的phi。

对于一个不能被任意平方数整除的d，它一定可以被唯一表示为p1*p2*…*pn(p1≠p2≠…≠pn)，所以依照phi的求值公式，phi(d)= (p1-1)*(p2-1)*…*(pn-1)(p1≠p2≠…≠pn)。又d是n的约数，所以{pn}都是n的质因子。将所有的不能被平方数整除的且是n的约数的d的phi写在一起，经过合并，发现他们的和就是所有n质因子的积。

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

unsigned long long t,n;

int main(){
    for (scanf("%llu",&t);t--;){
        scanf("%llu",&n);
        unsigned long long s=1,m=n;
        for (unsigned long long i=2;i*i*i<=m;i++){
            if (m%i==0){
                while (m%i==0) m/=i;
                s*=i;
            }
        }
        if (m>1){
            if (floor(sqrt(m))==sqrt(m)) s*=floor(sqrt(m));
            else s*=m;
        }
        printf("%llu\n",n-s);
    }
    return 0;
}