数论1.0 （基础知识）

今天，ZUTTER终于下定决心去学了数论，然后

从基础说起

• gcd

这个..感性理解一下就好了啊

gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	return(b,a%b);
}

• exgcd

扩展欧几里得算法，用于在已知(a,b)时求解(x,y) 使 ax+by=c (c | gcd(a,b))

 void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y, ll& c)
 {
    if(!b) {y = 0; x = 1; return c;}
    int d=exgcd(b, a % b, y, x); 
    y -= a / b * x; return d;
 }

证明：

又因为

所以任意都可为解

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• 排列

　　　　求%P　　　　　　

1. \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\)　　

m,n小于p时可以用O(n)的时间预处理阶乘和阶乘逆元，然后O(1) 求值

当m,n过大p过小，m,n>p 时

• 卢卡斯定理

  求c的公式 \(C_n^m=C_{n/p}^{m/p}\times C_{n\%p}^{m\%p}\)

　 递归中每次当 m,n<p 时调用1中公式即可。

二项式定理

　　\((x+y)^n\) 中 \(x^ty^{n-t}\) 的系数为 \(C_n^t\)

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• 中国剩余定理 Chinese Rimainder Theorem

　　

　　解法：

比较两个CRT下整数

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中\(n\) 两两互质）：

假设一中进制可以表示成

\(x=b_1+b_2\times2+b_3\times 2\times 3+...\)

然后左右两端同时

\(\mod n_1\ a_1=b_1\)

\(\mod n_2\ a_2=b_1+b_2n_1\)

$\mod n_3\ a $

然后从大往小比较就行

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• 博弈Nim

  有\(n\)堆木棒，每堆中木棒数量为\(K_i\)，两个人轮流取木棒，每次不能同时取两堆中的木棒也不能不取，取到最后一根木棒的人获胜，问对于当前状况是否是先手必胜局面。
  结论：若对于\(k_1 \bigoplus k_2 \bigoplus k_3 \bigoplus ... \bigoplus k_n\ !=0\) 都是先手必胜
  证明：咕咕咕（逃

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• 第二类斯特林数S，

  
  S(n,x)表示把n个数分成x组的方案数

\[S_{i,j}=S_{i-1,j-1}+j*S_{i-1,j} \]

\[S(n,k) =\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j} C(k,j) j^n \]

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康托展开

公式 $$A_n\times (n-1)!+A_{n-1}\times (n-2)!+...+A_1\times 0!$$
其中\(A_i\)代表第\(i\)个数后比这个数小的数的个数
预处理阶乘后可以 \(O(n)\)求解
可以逆运算

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逆元

当时，称x为a在%p意义下的逆元，记作

解法：

• 扩展欧几里得
  

• 费马小定理且

• 线性求逆元

• 裴蜀定理

\[\forall a\perp b,\exists x,y\in\mathbb {Z}|ax+by=1 \]

\[\forall gcd(a,b)|d,\exists x,y\in\mathbb{Z}|ax+by=d \]

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除法分块

给定正整数\(n ,k\)计算\(\sum_{i=1}^nk\%i\)
原式可变为\(n*k-\sum^n_{i=1}\left \lfloor k/i \right \rfloor *i\)
\(\because \left \lfloor k/\left \lfloor k/\left \lfloor k/x \right \rfloor \right \rfloor \right \rfloor= \left \lfloor k/x\right \rfloor\)
\(\therefore\forall i\in[x,\left \lfloor k/x\right \rfloor],\left \lfloor k/i\right \rfloor\) 相同
所以答案会被分成\(\sqrt k\)个。

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阶

\[\forall a\perp b,\exists k>0|a^k\equiv 1(mod b) \]

最小的k称为a的阶，记作 \(<a>\)
\(<a>|\phi (n)\)
若 \(<a>=\phi(n),a\)是n的原根

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拉格朗日插值
柿子

\[f(x)=\sum_{i=0}^d y_i\prod_{j\neq i}\frac {x-x_j}{x_i-x_j} \]

然后我们把1~d插进去就是

\[f(n)=\sum_{i=0}^d(-1)^{d-i}f(i)\frac {n(n-1)...(n-i+1)(n-i-1)...(n-d)}{i!(d-i)!} \]

关于边界，如果不能有零就重新推一下不要硬套柿子

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立方和公式

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]

\[a^4+b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3) \]

\[a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \]